Mostre que a^n +- a^m é sempre par para quaisquer n, m pertencem a N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que é sempre par, ou seja, divisível por 2, para quaisquer . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números pares e ímpares e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um número ser par ou ímpar:
  • Número par: É aquele que pode ser dividido por 2 sem deixar resto. Exemplos: 2, 4, 6, …
  • Número ímpar: Não é divisível por 2 sem resto. Exemplos: 1, 3, 5, …

Passo 3

Vamos analisar e dependendo de ser par ou ímpar.
Caso 1: é par
Se é par, então qualquer potência de também será par. Isso porque multiplicar números pares continua resultando em números pares:
é
éé
Somando ou subtraindo dois números pares:
Ou seja, será par.

Passo 4

Caso 2: é ímpar
Se é ímpar, então qualquer potência de também será ímpar. Isso porque multiplicar números ímpares continua resultando em números ímpares:
éí
ééí
Somando ou subtraindo dois números ímpares:
ÍÍ
Portanto, também será par.

Passo 5

Resumindo os dois casos:
  • Se é par, é par.
  • Se é ímpar, é par.
Como em ambos os casos a expressão resulta em um número par, concluímos que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Para quaisquer , a expressão é sempre par.

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