Mostre que
é sempre par para quaisquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que
é sempre par, ou seja, divisível por 2, para quaisquer
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números pares e ímpares e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um número ser par ou ímpar:
- Número par: É aquele que pode ser dividido por 2 sem deixar resto. Exemplos: 2, 4, 6, …
- Número ímpar: Não é divisível por 2 sem resto. Exemplos: 1, 3, 5, …
Passo 3
Vamos analisar
e
dependendo de
ser par ou ímpar.
Caso 1:
é par
Se
é par, então qualquer potência de
também será par. Isso porque multiplicar números pares continua resultando em números pares:
Somando ou subtraindo dois números pares:
Ou seja,
será par.
Passo 4
Caso 2:
é ímpar
Se
é ímpar, então qualquer potência de
também será ímpar. Isso porque multiplicar números ímpares continua resultando em números ímpares:
Somando ou subtraindo dois números ímpares:
Portanto,
também será par.
Passo 5
Resumindo os dois casos:
- Se
é par, é par. - Se
é ímpar, é par.
Como em ambos os casos a expressão
resulta em um número par, concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta
Para quaisquer
, a expressão
é sempre par.
Exercícios relacionados
Na divisão de
por
o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Sabendo que
e
são inteiros cuja soma é 116, determine os valores de
e
.
Quais são os possíveis restos deixados por um quadrado perfeito na divisão por 4?
Sejam
. Prove as seguintes afirmações
(a) .
(b) Se , então
ou 2 .
© Se e
, então
. Prove que se
a afirmação não vale.
(d) e
para algum
, então
e
são quadrados perfeitos.
(a)
(b) Se
© Se
(d)
(a) Prove que
! para todo
composto.
(b) Prove que .
(b) Prove que