Quais são os possíveis restos deixados por um quadrado perfeito na divisão por 4?

Passo 1

Vamos lá! O exercício pergunta quais são os possíveis restos que um quadrado perfeito deixa quando dividido por 4. Isso faz parte da matéria de aritmética modular, que estuda os restos das divisões. Para resolver, vamos precisar entender como os números se comportam quando elevados ao quadrado e divididos por 4.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que um quadrado perfeito é qualquer número que pode ser escrito como , onde é um número inteiro. Queremos descobrir os restos de divididos por 4, ou seja, queremos encontrar .

Passo 3

Vamos considerar todos os possíveis restos que pode deixar quando dividido por 4. Os restos possíveis são 0, 1, 2 e 3. Então, vamos calcular para cada um desses casos:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 4

Analisando os resultados:
  • Quando deixa resto 0 ou 2 ao dividir por 4, deixa resto 0.
  • Quando deixa resto 1 ou 3 ao dividir por 4, deixa resto 1.

Resposta

Os possíveis restos são 0 e 1.

Exercícios relacionados

Sejam . Mostre que
(a) Se e , então .
(b) Se e então
© Se a então .
(d) A afirmação análoga ao item acima com o divisor não é válida, isto é, e não implica que . (Encontre um exemplo),
(e) Se são tais que e , então .
(f) então para todo natural .
Sejam Verifique as propriedades a seguir:
(a) Se e , então .
(b) Se e , então
Na divisão de por o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Sabendo que e são inteiros cuja soma é 116, determine os valores de e .
Mostre que é sempre par para quaisquer .