Se phi(x, y, z) = x^2 * y * z^3 e F = x z i + y^2 j + 2 x^2 y k. Determine rot(nabla phi)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função escalar e um campo vetorial . A pergunta é para determinarmos , ou seja, o rotacional do gradiente de . Para isso, vamos precisar entender o que são gradiente e rotacional na matéria de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável. Então, vamos calcular .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular o rotacional desse gradiente, ou seja, . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos aplicar isso ao que calculamos.

Passo 5

Vamos identificar as componentes de :
Agora, calculamos cada termo do rotacional:

Passo 6

Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Ou seja,

Resposta

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