Se
e
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função escalar
e um campo vetorial
. A pergunta é para determinarmos
, ou seja, o rotacional do gradiente de
. Para isso, vamos precisar entender o que são gradiente e rotacional na matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Então, vamos calcular
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular o rotacional desse gradiente, ou seja,
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos aplicar isso ao
que calculamos.
Passo 5
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos cada termo do rotacional:
Passo 6
Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Ou seja,