Seja F um campo solenoidal, isto é, div F=0, em um domínio simplesmente conexo Omega subseteq R^3 e seja G0 um campo potencial de F, isto é, rot(G0)=F. Mostre que qualquer solução G da equação rot(G)=F é da forma G=G0+nabla varphi, sendo varphi um campo escalar.Embora não seja óbvio, um tal campo G pode ser definido pela expressão
G(P)=integral0^1[t F(t x, t y, t z) times O P] d t

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem um campo vetorial que é solenoidal, ou seja, sua divergência é zero ( ). Estamos trabalhando em um domínio simplesmente conexo em . Além disso, temos um campo potencial tal que o rotor de é igual a ( ). O objetivo é mostrar que qualquer outro campo que também satisfaz pode ser escrito como , onde é uma função escalar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional, divergência e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que é outro campo vetorial que satisfaz . Como também satisfaz , podemos considerar a diferença entre os dois campos: .

Passo 3

Calculando o rotor dessa diferença, temos:
rot(G - G0) = rot(G) - rot(G0) = F - F = 0
Ou seja, . Isso significa que o campo é irrotacional.

Passo 4

Em um domínio simplesmente conexo, todo campo vetorial irrotacional pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Portanto, existe uma função escalar G - G0 = nabla varphi tal que:

Passo 5

Rearranjando a equação acima, temos:
G = G0 + nabla varphi
Isso mostra que qualquer solução da equação pode ser expressa como o campo potencial mais o gradiente de alguma função escalar .

Resposta

Qualquer solução da equação é da forma , onde é uma função escalar.

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