Seja
um campo solenoidal, isto é, div
, em um domínio simplesmente conexo
e seja
um campo potencial de
, isto é,
. Mostre que qualquer solução
da equação
é da forma
, sendo
um campo escalar.Embora não seja óbvio, um tal campo
pode ser definido pela expressão
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem um campo vetorial
que é solenoidal, ou seja, sua divergência é zero (
). Estamos trabalhando em um domínio simplesmente conexo
em
. Além disso, temos um campo potencial
tal que o rotor de
é igual a
(
). O objetivo é mostrar que qualquer outro campo
que também satisfaz
pode ser escrito como
, onde
é uma função escalar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como rotacional, divergência e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
é outro campo vetorial que satisfaz
. Como
também satisfaz
, podemos considerar a diferença entre os dois campos:
.
Passo 3
Calculando o rotor dessa diferença, temos:
Ou seja,
. Isso significa que o campo
é irrotacional.
Passo 4
Em um domínio simplesmente conexo, todo campo vetorial irrotacional pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Portanto, existe uma função escalar
tal que:
Passo 5
Rearranjando a equação acima, temos:
Isso mostra que qualquer solução
da equação
pode ser expressa como o campo potencial
mais o gradiente de alguma função escalar
.
Resposta
Qualquer solução
da equação
é da forma
, onde
é uma função escalar.