Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
c) integral0^infty x^3 / 2 e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando a Função Gamma. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo a Função Gamma que é super útil para resolver integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Função Gamma. A Função Gamma, denotada por Gamma(n) = integral0^infty x^n-1 e^-x , dx , é definida como:
Comparando com a integral que temos, percebemos que nosso expoente de é . Para encaixar na fórmula da Função Gamma, precisamos que o expoente seja .

Passo 3

Vamos igualar os expoentes para encontrar n - 1 = 32 implies n = 52 :
integral0^infty x^3 / 2 e^-x , dx = Gamma(52)
Então, nossa integral é igual a :

Passo 4

Agora, precisamos calcular Gamma(n + 1) = n Gamma(n) . Sabemos que a Função Gamma tem a propriedade:
Gamma(52) = 32 Gamma(32)
Então:
Gamma(12) = raizpi
E sabemos também que:
Gamma(32) = 12 Gamma(12) = 12 raizpi
Usando novamente a propriedade da Função Gamma:
Gamma(52) = 32 times 12 raizpi = 34 raizpi
Substituindo de volta:

Resposta

integral0^infty x^3 / 2 e^-x , dx = 34 raizpi

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