Sejam os vetores u=(2,3,-4) e v=(0,3,-3) em R^3. Faça o que se pede:
a) Escreva w=(4,9,-11) como combinação linear de u e v :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever o vetor w = x cdot u + y cdot v como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do tema de combinação linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois números, que vamos chamar de e , de modo que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever essa equação de combinação linear de forma mais detalhada. Substituindo os vetores (4, 9, -11) = x cdot (2, 3, -4) + y cdot (0, 3, -3) e pelos seus valores, temos:
Isso significa que cada componente do vetor é igual à combinação das componentes correspondentes de e .

Passo 3

Agora, vamos distribuir os valores de (4, 9, -11) = (2x, 3x, -4x) + (0, 3y, -3y) e (4, 9, -11) = (2x + 0, 3x + 3y, -4x - 3y) em cada componente:
Somando as componentes dos dois vetores à direita, ficamos com:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações baseado nas componentes de cada posição do vetor:
  1. (componente x)
  2. (componente y)
  3. (componente z)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da primeira equação x = 42 = 2 , podemos facilmente encontrar :

Passo 6

Com o valor de 3(2) + 3y = 9 6 + 3y = 9 3y = 9 - 6 3y = 3 y = 33 = 1 , vamos substituir na segunda equação para encontrar :

Passo 7

Para garantir que nossos valores estão corretos, vamos verificar na terceira equação:
-4(2) - 3(1) = -8 - 3 = -11
Como o resultado bate com o lado esquerdo da equação, nossos valores de e estão corretos.

Resposta

Portanto, o vetor w = 2u + v pode ser escrito como:

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Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
c) Qual a dimensão de W ?
Mostre que qualquer base de R^m tem m vectores.
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^2 : (1,1),(0,0).
Mostre que os números complexos 1+2 i, 3-i geram o espaço vetorial C, sobre o corpo de escalares reais.
Podem conseiderar que já foi provado que C é um espaço vetorial.