Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de contorno
é igual a zero, onde
e
é a circunferência unitária
. Vamos precisar usar conceitos de funções analíticas e o Teorema de Cauchy para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem problemas, ou seja, onde ela não é analítica. Isso acontece nos pontos onde o denominador é zero:
. Resolvendo isso:
-
dá -
dá
Esses são os pólos da função
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se algum desses pólos está dentro da circunferência
. Vamos ver os módulos:
Todos esses valores são maiores que 1, ou seja, todos os pólos estão fora do contorno
.
Passo 4
Como todos os pólos estão fora da circunferência
, a função
é analítica dentro e sobre o contorno
. Isso significa que não há singularidades dentro de
.
Passo 5
Aqui entra o Teorema de Cauchy, que diz que se uma função é analítica em um domínio e sobre seu contorno fechado, então a integral de contorno dessa função é zero. Como mostramos que
é analítica dentro e sobre
, podemos aplicar esse teorema.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i)
, (ii)
(d)
Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(a)
(a)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i)
, (ii)
(a)