Mostre que ointC f(z) d z=0 para cada uma das funções a seguir, considerando que C é a circunferência unitária |z|=1.
(b) f(z)=sen z(z^2-25)(z^2+9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de contorno ointC f(z) , dz é igual a zero, onde f(z) = sin z(z^2-25)(z^2+9) e C é a circunferência unitária |z|=1. Vamos precisar usar conceitos de funções analíticas e o Teorema de Cauchy para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função f(z) tem problemas, ou seja, onde ela não é analítica. Isso acontece nos pontos onde o denominador é zero: (z^2-25)(z^2+9) = 0. Resolvendo isso:
  • z^2 - 25 = 0 z = pm5
  • z^2 + 9 = 0 z = pm3i
Esses são os pólos da função f(z).

Passo 3

Agora, precisamos verificar se algum desses pólos está dentro da circunferência |z|=1. Vamos ver os módulos:
  • |5| = 5
  • |-5| = 5
  • |3i| = 3
  • |-3i| = 3
Todos esses valores são maiores que 1, ou seja, todos os pólos estão fora do contorno C.

Passo 4

Como todos os pólos estão fora da circunferência |z|=1, a função f(z) é analítica dentro e sobre o contorno C. Isso significa que não há singularidades dentro de C.

Passo 5

Aqui entra o Teorema de Cauchy, que diz que se uma função é analítica em um domínio e sobre seu contorno fechado, então a integral de contorno dessa função é zero. Como mostramos que f(z) é analítica dentro e sobre C, podemos aplicar esse teorema.

Resposta

Portanto, ointC f(z) , dz = 0.

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