Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de contorno é igual a zero, onde e é a circunferência unitária . Vamos precisar usar conceitos de funções analíticas e o Teorema de Cauchy para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem problemas, ou seja, onde ela não é analítica. Isso acontece nos pontos onde o denominador é zero: . Resolvendo isso:
Esses são os pólos da função .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se algum desses pólos está dentro da circunferência . Vamos ver os módulos:
Todos esses valores são maiores que 1, ou seja, todos os pólos estão fora do contorno .

Passo 4

Como todos os pólos estão fora da circunferência , a função é analítica dentro e sobre o contorno . Isso significa que não há singularidades dentro de .

Passo 5

Aqui entra o Teorema de Cauchy, que diz que se uma função é analítica em um domínio e sobre seu contorno fechado, então a integral de contorno dessa função é zero. Como mostramos que é analítica dentro e sobre , podemos aplicar esse teorema.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i) , (ii)
Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma .
(b)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(a)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i) , (ii)