Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)
(i)
, (ii)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral complexa
usando as fórmulas integrais de Cauchy. O enunciado nos dá dois contornos fechados diferentes: (i)
e (ii)
. Vamos precisar entender onde estão os polos da função e se eles estão dentro de cada contorno para aplicar corretamente o teorema de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos factorizar o denominador da função para identificar os polos:
Então, os polos estão em
e
. Agora, vamos analisar cada contorno para ver quais desses polos estão dentro de cada um.
Passo 3
(i) Contorno
Esse é um círculo centrado em
com raio 2. Vamos verificar a distância dos polos em relação a esse centro.
- Distância de
a :
- Distância de
a :
Como o raio é 2, apenas
está dentro do contorno, já que
, e
está fora, pois
.
Passo 4
Agora, aplicamos o teorema de Cauchy para calcular a integral no contorno (i). A integral é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
Para
, calculamos o resíduo:
Então, a integral fica:
Passo 5
(ii) Contorno
Esse é um círculo centrado em
com raio 1. Vamos verificar a distância dos polos em relação a esse centro.
- Distância de
a :
- Distância de
a :
Como o raio é 1, apenas
está dentro do contorno, já que
, e
está fora, pois
.
Passo 6
Aplicamos novamente o teorema de Cauchy para calcular a integral no contorno (ii). Calculamos o resíduo em
:
Então, a integral fica:
Resposta
(a)
(i)
(i)
(ii)
Exercícios relacionados
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(a)
(a)
Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(b)
(b)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
(b)
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação