Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i) , (ii)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral complexa usando as fórmulas integrais de Cauchy. O enunciado nos dá dois contornos fechados diferentes: (i) e (ii) . Vamos precisar entender onde estão os polos da função e se eles estão dentro de cada contorno para aplicar corretamente o teorema de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos factorizar o denominador da função para identificar os polos:
Então, os polos estão em e . Agora, vamos analisar cada contorno para ver quais desses polos estão dentro de cada um.

Passo 3

(i) Contorno
Esse é um círculo centrado em com raio 2. Vamos verificar a distância dos polos em relação a esse centro.
  • Distância de a :
  • Distância de a :
Como o raio é 2, apenas está dentro do contorno, já que , e está fora, pois .

Passo 4

Agora, aplicamos o teorema de Cauchy para calcular a integral no contorno (i). A integral é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
Para , calculamos o resíduo:
Então, a integral fica:

Passo 5

(ii) Contorno
Esse é um círculo centrado em com raio 1. Vamos verificar a distância dos polos em relação a esse centro.
  • Distância de a :
  • Distância de a :
Como o raio é 1, apenas está dentro do contorno, já que , e está fora, pois .

Passo 6

Aplicamos novamente o teorema de Cauchy para calcular a integral no contorno (ii). Calculamos o resíduo em :
Então, a integral fica:

Resposta

(a)
(i)
(ii)

Exercícios relacionados

Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(a)
Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(b)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação