Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) ointC z^2z^2+4 d z ; (i) |z-i|=2, (ii) |z+2 i|=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral complexa usando as fórmulas integrais de Cauchy. O enunciado nos dá dois contornos fechados diferentes: (i) e (ii) . Vamos precisar entender onde estão os polos da função e se eles estão dentro de cada contorno para aplicar corretamente o teorema de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos factorizar o denominador da função para identificar os polos:
z^2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i)
Então, os polos estão em e . Agora, vamos analisar cada contorno para ver quais desses polos estão dentro de cada um.

Passo 3

(i) Contorno |2i - i| = |i| = 1
Esse é um círculo centrado em |-2i - i| = |-3i| = 3 com raio 2. Vamos verificar a distância dos polos em relação a esse centro.
  • Distância de a :
  • Distância de a :
Como o raio é 2, apenas está dentro do contorno, já que , e está fora, pois .

Passo 4

Agora, aplicamos o teorema de Cauchy para calcular a integral no contorno (i). A integral é igual a Res(z^2z^2+4, 2i) = (2i)^22(2i) = -44i = -1i = i vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
Para ointC z^2z^2+4 , dz = 2pi i times i = -2pi , calculamos o resíduo:
Então, a integral fica:

Passo 5

(ii) Contorno |2i - (-2i)| = |4i| = 4
Esse é um círculo centrado em |-2i - (-2i)| = |0| = 0 com raio 1. Vamos verificar a distância dos polos em relação a esse centro.
  • Distância de a :
  • Distância de a :
Como o raio é 1, apenas está dentro do contorno, já que , e está fora, pois .

Passo 6

Aplicamos novamente o teorema de Cauchy para calcular a integral no contorno (ii). Calculamos o resíduo em Res(z^2z^2+4, -2i) = (-2i)^22(-2i) = -4-4i = 1i = -i :
ointC z^2z^2+4 , dz = 2pi i times (-i) = 2pi
Então, a integral fica:

Resposta

(a)
(i)
(ii)

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