Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para calcular a integral definida de uma função envolvendo números complexos usando a antiderivada. Especificamente, queremos calcular
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de antiderivação e como aplicá-las a funções complexas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função
. Antiderivada, também conhecida como primitiva, é a função que, quando derivada, retorna a função original. Vamos expandir o termo para facilitar a integração:
Agora, encontramos a antiderivada de cada termo individualmente:
Então, a antiderivada completa é:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos calcular uma integral definida.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que para calcular a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites superior e inferior e subtraímos:
Primeiro, avaliamos a antiderivada em
:
E depois em
:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente.
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(b)
(b)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i)
, (ii)
(d)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i)
, (ii)
(a)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
(b)