Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para calcular a integral definida de uma função envolvendo números complexos usando a antiderivada. Especificamente, queremos calcular . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de antiderivação e como aplicá-las a funções complexas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função . Antiderivada, também conhecida como primitiva, é a função que, quando derivada, retorna a função original. Vamos expandir o termo para facilitar a integração:
Agora, encontramos a antiderivada de cada termo individualmente:
Então, a antiderivada completa é:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos calcular uma integral definida.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que para calcular a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites superior e inferior e subtraímos:
Primeiro, avaliamos a antiderivada em :
E depois em :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral é igual a .

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Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(b)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i) , (ii)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(a) (i) , (ii)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)