Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma a+i b.
(a) integral-i / 2^1-i(2 z+1)^2 d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício pede para calcular a integral definida de uma função envolvendo números complexos usando a antiderivada. Especificamente, queremos calcular . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de antiderivação e como aplicá-las a funções complexas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função (2z + 1)^2 = 4z^2 + 4z + 1 . Antiderivada, também conhecida como primitiva, é a função que, quando derivada, retorna a função original. Vamos expandir o termo para facilitar a integração:
integral 4z^2 , dz = 43z^3
Agora, encontramos a antiderivada de cada termo individualmente:
integral 4z , dz = 2z^2
integral 1 , dz = z
43z^3 + 2z^2 + z + C
Então, a antiderivada completa é:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos calcular uma integral definida.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que para calcular a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites superior e inferior e subtraímos:
integral-i / 2^1-i(2 z+1)^2 d z = [ 43z^3 + 2z^2 + z ]-i / 2^1-i
Primeiro, avaliamos a antiderivada em 43(1 - i)^3 + 2(1 - i)^2 + (1 - i) :
43(-i2)^3 + 2(-i2)^2 + (-i2)
E depois em :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i :
(1 - i)^3 = (1 - i)(-2i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i
43(-2 - 2i) + 2(-2i) + (1 - i) = -83 - 8i3 - 4i + 1 - i = -83 + 1 - ( 8i3 + 4i + i ) = -53 - 17i3
(-i2)^2 = i^24 = -14
Para (-i2)^3 = -i^38 = -(-i)8 = i8 :
43(i8) + 2(-14) + (-i2) = i6 - 12 - i2 = -12 - i3
( -53 - 17i3 ) - ( -12 - i3 ) = -53 + 12 - 17i3 + i3 = -10 + 36 - 16i3 = -76 - 16i3
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral é igual a .

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