Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido na base canônica por T(1,0,0)=(1,1,2), T(0,1,0)=(1,1,2) e T(0,0,1)=(0,3,1). Determine T(x, y, z).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um operador linear definido nas bases canônicas de . Isso significa que sabemos como atua nos vetores padrão , e . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor de . Para isso, vamos usar os conceitos de operadores lineares e combinação linear.

Passo 2

Como T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1) é um operador linear, podemos expressar como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. Ou seja:
Isso significa que multiplicamos cada imagem do vetor base pelo seu respectivo coeficiente (x, y ou z) e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos substituir as imagens conhecidas de T(1,0,0) = (1,1,2) nos vetores da base:
T(0,1,0) = (1,1,2)
T(0,0,1) = (0,3,1)
T(x, y, z) = x cdot (1,1,2) + y cdot (1,1,2) + z cdot (0,3,1)
Substituindo na equação do passo anterior:

Passo 4

Vamos realizar a multiplicação escalares:
x cdot (1,1,2) = (x, x, 2x)
y cdot (1,1,2) = (y, y, 2y)
z cdot (0,3,1) = (0, 3z, z)
Agora, somamos os resultados:
T(x, y, z) = (x, x, 2x) + (y, y, 2y) + (0, 3z, z)

Passo 5

Somando os vetores componente a componente:
  • Primeira componente: T(x, y, z) = (x + y, , x + y + 3z, , 2x + 2y + z)
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Portanto:

Resposta

O operador linear T(x, y, z) = (x + y, , x + y + 3z, , 2x + 2y + z) é dado por:

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^2 R definida por T(x, y)=x y
Mostre que o operador linear T: R^3 R^3 representado na base canônica B pela matriz:
[T]B^B=(ccc 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 5 & 7 )
não é invertível.
Seja V=f: R^n longrightarrow R ; f(x+y)=f(x)+f(y) e f(alpha x)=alpha f(x); forall x, y in R^n e $\left.\alpha \in \mathbb{R}\right$. Dados alpha in R e f, g in V definamos:
alpha in R
a) Mostre que (f oplus g)(x)=f(x)+g(x) (alpha odot f)(x)=f(alpha x) é um espaço vetorial sobre V.
b) Mostre que R.
Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
c) W=A=(ai j) in M3(R) mid ai j=0 se i neq j