Mostre que |llla^2 & a & 1 b^2 & b & 1 c^2 & c & 1|=(b-a)(c-a)(b-c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante da matriz
a^2 & a & 1 b^2 & b & 1 c^2 & c & 1
é igual a . Vamos usar o conceito de determinantes de matrizes para resolver isso. Precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Para uma matriz geral
x & y & z p & q & r s & t & u ,
o determinante é dado por:
x(q cdot u - r cdot t) - y(p cdot u - r cdot s) + z(p cdot t - q cdot s)
Aplicando isso à nossa matriz:
a^2 & a & 1 b^2 & b & 1 c^2 & c & 1 ,
temos:
a^2(b cdot 1 - 1 cdot c) - a(b^2 cdot 1 - 1 cdot c^2) + 1(b^2 cdot c - b cdot c^2)

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
Agora, lembrando que , podemos reescrever:

Passo 4

Fatorando (b - c)[a^2 - a(b + c) + b c] de todos os termos:
a^2 - a b - a c + b c
Agora, simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
a^2 - a(b + c) + b c = (a - b)(a - c)
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão fatorada:
(b - c)(a - b)(a - c)
Podemos reordenar os termos para ficar mais parecido com o que queremos mostrar:
(b - a)(c - a)(b - c)

Resposta

Portanto,
|lll a^2 & a & 1 b^2 & b & 1 c^2 & c & 1 | = (b - a)(c - a)(b - c)

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