Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante da matriz
é igual a
. Vamos usar o conceito de determinantes de matrizes para resolver isso. Precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Para uma matriz geral
o determinante é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
temos:
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
Agora, lembrando que
, podemos reescrever:
Passo 4
Fatorando
(b - c)[a^2 - a(b + c) + b c] de todos os termos:
Agora, simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão fatorada:
Podemos reordenar os termos para ficar mais parecido com o que queremos mostrar:
Resposta
Portanto,