Mostre que se e somente se . [Note que esse exercício prova que um paralelogramo é um retângulo se e somente se o comprimento das diagonais é o mesmo.]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Nós precisamos demonstrar que a norma (ou comprimento) da soma de dois vetores é igual à norma da diferença desses mesmos vetores se e somente se o produto escalar entre e é igual a zero. Isso está relacionado ao conceito de vetores serem perpendiculares quando seu produto escalar é zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades das normas e do produto escalar.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a norma de um vetor é dada por . Então, podemos escrever as normas de e da seguinte forma:
Passo 3
Vamos expandir os produtos escalares dentro das raízes. Lembrando que o produto escalar é distributivo, temos:
Passo 4
Agora, igualamos as duas normas:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Subtraindo e de ambos os lados, ficamos com:
Somando aos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 4:
Resposta
Portanto, mostramos que se e somente se. Isso significa que os vetores e são perpendiculares.