Mostre que |u+v|=|u-v| se e somente se u cdot v=0. [Note que esse exercício prova que um paralelogramo é um retângulo se e somente se o comprimento das diagonais é o mesmo.]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Nós precisamos demonstrar que a norma (ou comprimento) da soma de dois vetores u + v é igual à norma da diferença desses mesmos vetores u - v se e somente se o produto escalar entre u e v é igual a zero. Isso está relacionado ao conceito de vetores serem perpendiculares quando seu produto escalar é zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades das normas e do produto escalar.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a norma de um vetor w é dada por |w| = raizw cdot w. Então, podemos escrever as normas de u + v e u - v da seguinte forma:
|u + v| = raiz(u + v) cdot (u + v)
|u - v| = raiz(u - v) cdot (u - v)

Passo 3

Vamos expandir os produtos escalares dentro das raízes. Lembrando que o produto escalar é distributivo, temos:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2,u cdot v + v cdot v
(u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2,u cdot v + v cdot v

Passo 4

Agora, igualamos as duas normas:
raizu cdot u + 2,u cdot v + v cdot v = raizu cdot u - 2,u cdot v + v cdot v
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
u cdot u + 2,u cdot v + v cdot v = u cdot u - 2,u cdot v + v cdot v

Passo 5

Subtraindo u cdot u e v cdot v de ambos os lados, ficamos com:
2,u cdot v = -2,u cdot v
Somando 2,u cdot v aos dois lados:
4,u cdot v = 0
Dividindo ambos os lados por 4:
u cdot v = 0

Resposta

Portanto, mostramos que |u + v| = |u - v| se e somente se u cdot v = 0. Isso significa que os vetores u e v são perpendiculares.

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