Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
. Isso envolve matérias de Cálculo Diferencial, especialmente a parte de derivadas. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função e depois substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que é o produto de duas funções, como
e
. Isso se chama Regra do Produto, que diz que se tivermos
, a derivada é
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
aplicando a regra do produto novamente:
Passo 5
Com as derivadas em mãos, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Passo 7
Agora, somando os termos semelhantes:
Resposta
Como
, a função
é realmente uma solução da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Mostre que o par de funcões
e
é uma solucão do sistema de equacões
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
, para