Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
y(x) = 3 x e^x, y'' - 2y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Isso envolve matérias de Cálculo Diferencial, especialmente a parte de derivadas. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função e depois substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que é o produto de duas funções, como e . Isso se chama Regra do Produto, que diz que se tivermos , a derivada é .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada aplicando a regra do produto novamente:

Passo 5

Com as derivadas em mãos, vamos substituir , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos simplificar os termos:

Passo 7

Agora, somando os termos semelhantes:

Resposta

Como , a função é realmente uma solução da equação diferencial dada.

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