Mostre que:
Se uma parte de um conjunto A subset V é L.D. então A é L.D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que: Se uma parte de um conjunto é linearmente dependente (L.D.), então todo é L.D.. Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente e como isso se relaciona com subconjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto linearmente dependente. Um conjunto de vetores c1 v1 + c2 v2 + dots + cn vn = 0 é dito ser linearmente dependente se existir uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero, ou seja:
onde pelo menos um dos coeficientes não é zero. Se isso acontecer, significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros, mostrando que há redundância no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos considerar que temos um subconjunto c1 s1 + c2 s2 + dots + ck sk = 0 que é linearmente dependente. Isso significa que existe uma combinação linear dos vetores em que resulta no vetor zero com pelo menos um coeficiente diferente de zero:
onde e pelo menos um .

Passo 4

Como é um subconjunto de , todos os vetores de também estão em . Ou seja, a combinação linear que causa a dependência linear em também é válida no contexto de .

Passo 5

Para ser linearmente dependente, precisamos mostrar que existe uma combinação linear de vetores em que resulta no vetor zero com pelo menos um coeficiente diferente de zero. Como já temos isso de , concluímos que também satisfaz essa condição.

Resposta

Portanto, se uma parte de é linearmente dependente, então o conjunto todo também é linearmente dependente.

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