Mostre que:
Se uma parte de um conjunto
é L.D. então
é L.D.
Se uma parte de um conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que: Se uma parte de um conjunto
é linearmente dependente (L.D.), então
todo é L.D.. Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente e como isso se relaciona com subconjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto linearmente dependente. Um conjunto de vetores
é dito ser linearmente dependente se existir uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero, ou seja:
onde pelo menos um dos coeficientes
não é zero. Se isso acontecer, significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros, mostrando que há redundância no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos um subconjunto
que é linearmente dependente. Isso significa que existe uma combinação linear dos vetores em
que resulta no vetor zero com pelo menos um coeficiente diferente de zero:
onde
e pelo menos um
.
Passo 4
Como
é um subconjunto de
, todos os vetores de
também estão em
. Ou seja, a combinação linear que causa a dependência linear em
também é válida no contexto de
.
Passo 5
Para
ser linearmente dependente, precisamos mostrar que existe uma combinação linear de vetores em
que resulta no vetor zero com pelo menos um coeficiente diferente de zero. Como já temos isso de
, concluímos que
também satisfaz essa condição.
Resposta
Portanto, se uma parte de
é linearmente dependente, então o conjunto todo
também é linearmente dependente.