Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição geral de derivada e alguns resultados que já vimos antes. Para isso, vamos precisar lembrar como definir a derivada e alguns limites que facilitam nossa vida na hora de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição geral de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso significa que vamos calcular como a função muda quando fazemos um pequeno incremento
em
.
Passo 3
Aplicando essa definição à nossa função
, temos:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para conseguir calcular o limite.
Passo 4
Para simplificar, vamos usar a identidade trigonométrica para o seno da soma:
Substituindo na expressão da derivada:
Vamos separar os termos:
Agora, usamos os limites que já conhecemos:
Substituindo esses valores:
Resposta
A derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Mostre, a partir da definição geral de derivada, que:
Obtenha uma série de potência de
para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:
Resp.
d)
Sugestão:
Resp.
d)
Determine as anti-derivadas (primitivas) das seguintes funções.
(a) .
(a)
Determine as anti-derivadas (primitivas) das seguintes funções.
(b) .
(b)