Utilize a definição geral de derivada e os resultados dos exercícios 2 e 4 para obter as derivadas das seguintes funções:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição geral de derivada e alguns resultados que já vimos antes. Para isso, vamos precisar lembrar como definir a derivada e alguns limites que facilitam nossa vida na hora de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição geral de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso significa que vamos calcular como a função muda quando fazemos um pequeno incremento em .

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa função , temos:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para conseguir calcular o limite.

Passo 4

Para simplificar, vamos usar a identidade trigonométrica para o seno da soma:
Substituindo na expressão da derivada:
Vamos separar os termos:
Agora, usamos os limites que já conhecemos:
Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de é .

Exercícios relacionados

Mostre, a partir da definição geral de derivada, que:
Obtenha uma série de potência de para representar cada função e determine o intervalo que em que isso ocorre.
Sugestão:

Resp.
d)
Determine as anti-derivadas (primitivas) das seguintes funções.
(a) .
Determine as anti-derivadas (primitivas) das seguintes funções.
(b) .