Um tanque cilíndrico tem uma área de seção transversal igual a 0,372 m^2 e é cheio com água até a profundidade de 1,83 m. Uma válvula é aberta no fundo do tanque. A vazão da água que sai do tanque diminui a medida que a altura do líquido no tanque diminui, de acordo com a fórmula: w= 16,44 z^1 / 2, onde w é a vazão em kg / min e z é a altura em m . Quanto tempo irá demorar para que a altura do tanque atinja o nível de 0,61 m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque cilíndrico cheio de água e uma válvula que está sendo aberta no fundo. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a altura da água no tanque diminuir de 1,83 metros para 0,61 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de taxa de vazão e cálculo de variação de volume. Vamos precisar entender como a vazão da água (quantidade que sai por unidade de tempo) varia com a altura da água no tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a vazão w = 16,44 , z^1/2 e a altura da água no tanque. A vazão é dada por:
Aqui, está em kg/min e em metros. Isso significa que quanto menor a altura , menor a vazão .

Passo 3

Sabemos que a massa de água que sai por unidade de tempo é a vazão Q = wrho = 16,44 , z^1/21000 = 0,01644 , z^1/2 , m^3/min . Para relacionar isso com a variação da altura da água no tanque, precisamos converter essa massa em volume. Sabemos que a densidade da água é aproximadamente .
Então, o fluxo de volume é:

Passo 4

O volume de água no tanque é dado pela área da seção transversal multiplicada pela altura:
V = A cdot z
Onde dVdt = A cdot dzdt . A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
A cdot dzdt = -Q = -0,01644 , z^1/2
Como o volume está diminuindo, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar dzdt = -0,016440,372 , z^1/2 approx -0,04419 , z^1/2 :
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona a altura com o tempo .

Passo 6

Vamos separar as variáveis para integrar:
dzz^1/2 = -0,04419 , dt
Integrando ambos os lados:
integral dzz^1/2 = -0,04419 integral dt
2 z^1/2 = -0,04419 t + C

Passo 7

Precisamos determinar a constante de integração 2 cdot (1,83)^1/2 = C . Sabemos que no tempo 2 cdot 1,352 = C approx 2,704 , a altura . Substituindo:

Passo 8

Agora, temos a equação:
2 z^1/2 = -0,04419 t + 2,704
Queremos encontrar o tempo 2 cdot (0,61)^1/2 = -0,04419 t + 2,704 quando 2 cdot 0,781 = -0,04419 t + 2,704 . Substituindo:
1,562 = -0,04419 t + 2,704

Passo 9

Isolando -0,04419 t = 1,562 - 2,704 :
-0,04419 t = -1,142
t = -1,142-0,04419 approx 25,83 , min

Resposta

O tempo necessário para que a altura da água no tanque diminua de 1,83 metros para 0,61 metros é aproximadamente 25,83 minutos.

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