Um tanque cilíndrico tem uma área de seção transversal igual a
e é cheio com água até a profundidade de
. Uma válvula é aberta no fundo do tanque. A vazão da água que sai do tanque diminui a medida que a altura do líquido no tanque diminui, de acordo com a fórmula:
, onde w é a vazão em
min e z é a altura em m . Quanto tempo irá demorar para que a altura do tanque atinja o nível de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque cilíndrico cheio de água e uma válvula que está sendo aberta no fundo. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a altura da água no tanque diminuir de 1,83 metros para 0,61 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de taxa de vazão e cálculo de variação de volume. Vamos precisar entender como a vazão da água (quantidade que sai por unidade de tempo) varia com a altura da água no tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a vazão
e a altura
da água no tanque. A vazão é dada por:
Aqui,
está em kg/min e
em metros. Isso significa que quanto menor a altura
, menor a vazão
.
Passo 3
Sabemos que a massa de água que sai por unidade de tempo é a vazão
. Para relacionar isso com a variação da altura da água no tanque, precisamos converter essa massa em volume. Sabemos que a densidade da água
é aproximadamente
.
Então, o fluxo de volume
é:
Passo 4
O volume de água no tanque é dado pela área da seção transversal multiplicada pela altura:
Onde
. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
Como o volume está diminuindo, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona a altura
com o tempo
.
Passo 6
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Precisamos determinar a constante de integração
. Sabemos que no tempo
, a altura
. Substituindo:
Passo 8
Agora, temos a equação:
Queremos encontrar o tempo
quando
. Substituindo:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
O tempo necessário para que a altura da água no tanque diminua de 1,83 metros para 0,61 metros é aproximadamente 25,83 minutos.