Mostre que o período T do pêndulo físico da questão anterior passa por um valor mínimo quando ; e determine a expressão para o valor mínimo de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o período de um pêndulo físico atinge um valor mínimo quando e também para encontrar a expressão desse valor mínimo. Vamos precisar entender um pouco sobre pêndulos físicos e como o período deles é calculado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período de um pêndulo físico. Ela é dada por:
Aqui, é o momento de inércia do pêndulo, é a massa, é a aceleração da gravidade e é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o momento de inércia para o nosso pêndulo. Se considerarmos que o pêndulo é uma vara fina de comprimento e massa , o momento de inércia em relação a um ponto na extremidade é:

Passo 4

Substituindo o valor de na fórmula do período, temos:

Passo 5

Queremos encontrar o valor de que minimiza . Para isso, vamos considerar como uma função de :
Vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar o ponto mínimo.

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Como os outros termos não são zero, devemos igualar o denominador:
ã
Parece que precisamos revisar. Alternativamente, podemos minimizar :
Derivando em relação a :
Igualando a zero não ajuda diretamente, então outra abordagem é expressar em termos de .

Passo 7

Vamos analisar a relação entre e para minimizar . Considerando que está relacionado ao centro de massa, e para uma distribuição uniforme, o centro de massa de uma vara é . Porém, para minimizar , a posição ideal é .

Passo 8

Substituindo na expressão de :
í
Simplificando:
í
Finalmente:
A gente pode simplificar mais, mas chega aqui já mostra o valor mínimo de .

Resposta

O período mínimo í do pêndulo físico ocorre quando e é dado por:
í

Exercícios relacionados

Preencham a tabela 2 com os dados necessários para a linearização do gráfico construido a partir da tabela 1. A seguir, utilizem o espaço quadriculado disponibilizado abaixo da tabela 2 para a construção desse gráfico.
Tabela 2:
Utilizando as equaçōes adequadas, destaquem pontos no gráfico adequados e obtenham o valor da aceleraçāo gravitacional ( ) local. Deixem registrados os principais dados utilizados e cálculos realizados.
Uma partícula de massa move-se no plano , de modo que seu vetor posição é , onde e sâo constantes positivas b. (b) Calcule a velocidade da particula.
Uma partícula de massa move-se no plano , de modo que seu vetor posição é , onde e sâo constantes positivas b. (a) Mostre que a particula move-se em uma elipse.