Mostre que o período T do pêndulo físico da questão anterior passa por um valor mínimo quando
; e determine a expressão para o valor mínimo de T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o período
de um pêndulo físico atinge um valor mínimo quando
e também para encontrar a expressão desse valor mínimo. Vamos precisar entender um pouco sobre pêndulos físicos e como o período deles é calculado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período
de um pêndulo físico. Ela é dada por:
Aqui,
é o momento de inércia do pêndulo,
é a massa,
é a aceleração da gravidade e
é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o momento de inércia
para o nosso pêndulo. Se considerarmos que o pêndulo é uma vara fina de comprimento
e massa
, o momento de inércia em relação a um ponto na extremidade é:
Passo 4
Substituindo o valor de
na fórmula do período, temos:
Passo 5
Queremos encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, vamos considerar
como uma função de
:
Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar o ponto mínimo.
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Como os outros termos não são zero, devemos igualar o denominador:
Parece que precisamos revisar. Alternativamente, podemos minimizar
:
Derivando
em relação a
:
Igualando a zero não ajuda diretamente, então outra abordagem é expressar
em termos de
.
Passo 7
Vamos analisar a relação entre
e
para minimizar
. Considerando que
está relacionado ao centro de massa, e para uma distribuição uniforme, o centro de massa de uma vara é
. Porém, para minimizar
, a posição ideal é
.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Finalmente:
A gente pode simplificar mais, mas chega aqui já mostra o valor mínimo de
.
Resposta
O período mínimo
do pêndulo físico ocorre quando
e é dado por:
Exercícios relacionados
Preencham a tabela 2 com os dados necessários para a linearização do gráfico construido a partir da tabela 1. A seguir, utilizem o espaço quadriculado disponibilizado abaixo da tabela 2 para a construção desse gráfico.
Tabela 2:
Tabela 2:
Utilizando as equaçōes adequadas, destaquem pontos no gráfico adequados e obtenham o valor da aceleraçāo gravitacional (
) local. Deixem registrados os principais dados utilizados e cálculos realizados.
Uma partícula de massa
move-se no plano
, de modo que seu vetor posição é
, onde
e
sâo constantes positivas
b. (b) Calcule a velocidade da particula.
Uma partícula de massa
move-se no plano
, de modo que seu vetor posição é
, onde
e
sâo constantes positivas
b. (a) Mostre que a particula move-se em uma elipse.