Uma partícula de massa
move-se no plano
, de modo que seu vetor posição é
, onde
e
sâo constantes positivas
b. (a) Mostre que a particula move-se em uma elipse.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula com massa
que se move no plano
. A posição dela é dada pela função
, onde
,
e
são constantes positivas e
. O objetivo aqui é mostrar que essa partícula está se movendo ao longo de uma elipse. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matemática sobre curvas paramétricas e, basicamente, eliminar o tempo
para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes da posição. A componente
é
e a componente
é
. Isso significa que a posição da partícula em qualquer instante
é definida por essas duas funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, o próximo passo é eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação direta entre
e
. A gente sabe que
para qualquer ângulo
. Vamos usar essa identidade trigonométrica para combinar as duas equações.
Passo 4
Dividimos
por
e
por
:
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados de cada equação:
Passo 5
Somamos as duas equações:
Pela identidade trigonométrica que mencionamos, sabemos que
, então:
Passo 6
Chegamos a uma equação que não depende de
, apenas de
e
:
Essa é justamente a equação geral de uma elipse, onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Resposta
Portanto, a partícula se move ao longo de uma elipse definida pela equação
.