Uma partícula de massa m move-se no plano x y, de modo que seu vetor posição é r(t)=a cos (omega t) i+b sen(omega t) , onde a, b e omega sâo constantes positivas e a> b. (a) Mostre que a particula move-se em uma elipse.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula com massa que se move no plano . A posição dela é dada pela função , onde , e são constantes positivas e . O objetivo aqui é mostrar que essa partícula está se movendo ao longo de uma elipse. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matemática sobre curvas paramétricas e, basicamente, eliminar o tempo para encontrar uma relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da posição. A componente é e a componente é . Isso significa que a posição da partícula em qualquer instante é definida por essas duas funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, o próximo passo é eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e . A gente sabe que para qualquer ângulo . Vamos usar essa identidade trigonométrica para combinar as duas equações.

Passo 4

Dividimos x(t)a = cos(omega t) e y(t)b = sin(omega t) por (x(t)a)^2 = cos^2(omega t) e (y(t)b)^2 = sin^2(omega t) e por :
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados de cada equação:

Passo 5

Somamos as duas equações:
(x(t)a)^2 + (y(t)b)^2 = cos^2(omega t) + sin^2(omega t)
Pela identidade trigonométrica que mencionamos, sabemos que (x(t)a)^2 + (y(t)b)^2 = 1 , então:

Passo 6

Chegamos a uma equação que não depende de x^2a^2 + y^2b^2 = 1 , apenas de e :
Essa é justamente a equação geral de uma elipse, onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.

Resposta

Portanto, a partícula se move ao longo de uma elipse definida pela equação .

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