Uma partícula de massa m move-se no plano x y, de modo que seu vetor posição é r(t)=a cos (omega t) i+b sen(omega t) , onde a, b e omega sâo constantes positivas e a> b. (b) Calcule a velocidade da particula.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre o movimento de uma partícula no plano XY. A posição dela é dada pela função vetorial , onde , e são constantes positivas e . O conteúdo que vamos usar aqui é de cinemática, especificamente o cálculo da velocidade a partir da posição. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como derivar funções vetoriais em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Ou seja, se v(t) = dr(t)dt é a posição, então a velocidade é dada por:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente da posição. A função dx(t)dt = -a omega sin(omega t) tem duas partes: a componente no eixo e a componente no eixo .
Para a componente :
Isso porque a derivada de é .

Passo 4

Para a componente dy(t)dt = b omega cos(omega t) :
Aqui, a derivada de é .

Passo 5

Agora, juntando as duas componentes derivadas, a velocidade vetorial v(t) = -a omega sin(omega t) i + b omega cos(omega t) j fica:

Resposta

A velocidade da partícula é .

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