Seja f: R -> R uma função contínua com a seguinte propriedade:
f(x+y) = f(x) + f(y), para todo x, y em R
Mostre que f é uma função linear, isto é, existe a in R tal que f(x) = a x, para todo x em R.
Dica: Defina a = f(1), mostre que f(x) = a x para todo x racional e conclua o resultado usando a continuidade de f e a densidade dos racionais na reta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua que satisfaz a propriedade para todo . O objetivo é mostrar que essa função é linear, ou seja, que existe um número real tal que para todo . Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares, propriedades de funções contínuas e a densidade dos números racionais na reta real.

Passo 2

Primeiro, vamos definir . Isso vai nos ajudar a relacionar a função com a identidade linear que queremos provar.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que para todo número racional . Suponha que seja um número racional, então podemos escrevê-lo como , onde e são inteiros e .

Passo 4

Usando a propriedade dada , podemos estender para múltiplos de . Por exemplo, para todo inteiro .

Passo 5

Para , temos:
Assim, mostramos que para todo racional.

Passo 6

Agora, queremos estender essa propriedade para todo número real . Sabemos que os números racionais são “densos” na reta real, ou seja, qualquer número real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.

Passo 7

Como é contínua e já sabemos que para todos os racionais, podemos concluir que essa igualdade se estende a todos os números reais por continuidade. Isso porque a função também é contínua e, sendo igual em uma sequência que converge para qualquer , ela deve ser igual em todo ponto.

Resposta

Portanto, para todo , onde . Assim, é uma função linear.

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