Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que é uma função linear, isto é, existe tal que , para todo .
Dica: Defina , mostre que para todo racional e conclua o resultado usando a continuidade de e a densidade dos racionais na reta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua que satisfaz a propriedade para todo . O objetivo é mostrar que essa função é linear, ou seja, que existe um número real tal que para todo . Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares, propriedades de funções contínuas e a densidade dos números racionais na reta real.
Passo 2
Primeiro, vamos definir . Isso vai nos ajudar a relacionar a função com a identidade linear que queremos provar.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que para todo número racional . Suponha que seja um número racional, então podemos escrevê-lo como , onde e são inteiros e .
Passo 4
Usando a propriedade dada , podemos estender para múltiplos de . Por exemplo, para todo inteiro .
Passo 5
Para , temos:
Assim, mostramos que para todo racional.
Passo 6
Agora, queremos estender essa propriedade para todo número real . Sabemos que os números racionais são "densos" na reta real, ou seja, qualquer número real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.
Passo 7
Como é contínua e já sabemos que para todos os racionais, podemos concluir que essa igualdade se estende a todos os números reais por continuidade. Isso porque a função também é contínua e, sendo igual em uma sequência que converge para qualquer , ela deve ser igual em todo ponto.
Resposta
Portanto, para todo , onde . Assim, é uma função linear.
Exercícios relacionados
Seja uma função contínua no intervalo . Suponhamos que existem e tais que $f\left(x_{0}\right)0 f(x)
Seja dada por . Mostre que se entāo e .
Mostre que um polinômio é uma função uniformemente contínua se, e somente se, tem grau 0 ou 1.
Prove por indução finita que