Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que
é uma função linear, isto é, existe
tal que
, para todo
.
Dica: Defina
, mostre que
para todo
racional e conclua o resultado usando a continuidade de
e a densidade dos racionais na reta.
Dica: Defina
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua
que satisfaz a propriedade
para todo
. O objetivo é mostrar que essa função é linear, ou seja, que existe um número real
tal que
para todo
. Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares, propriedades de funções contínuas e a densidade dos números racionais na reta real.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
. Isso vai nos ajudar a relacionar a função
com a identidade linear que queremos provar.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
para todo número racional
. Suponha que
seja um número racional, então podemos escrevê-lo como
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 4
Usando a propriedade dada
, podemos estender para múltiplos de
. Por exemplo,
para todo inteiro
.
Passo 5
Para
, temos:
Assim, mostramos que
para todo
racional.
Passo 6
Agora, queremos estender essa propriedade para todo número real
. Sabemos que os números racionais são “densos” na reta real, ou seja, qualquer número real pode ser aproximado por uma sequência de números racionais.
Passo 7
Como
é contínua e já sabemos que
para todos os
racionais, podemos concluir que essa igualdade se estende a todos os números reais por continuidade. Isso porque a função
também é contínua e, sendo igual em uma sequência que converge para qualquer
, ela deve ser igual em todo ponto.
Resposta
Portanto,
para todo
, onde
. Assim,
é uma função linear.