Mostre que os polinômios 1 - geram todos os polinômios de grau menor ou igual a três.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que os polinômios , , e conseguem gerar todos os polinômios de grau menor ou igual a três. Isso está relacionado ao conceito de geração de polinômios em Álgebra Linear, onde queremos ver se, combinando esses polinômios, conseguimos formar qualquer polinômio de até terceiro grau. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar polinômios e verificar se conseguimos expressar um polinômio genérico de grau até três usando esses quatro polinômios dados.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um polinômio genérico de grau menor ou igual a três. Ele pode ser escrito da seguinte forma:
onde , , e são coeficientes reais que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos polinômios fornecidos. Isso significa que vamos encontrar constantes , , e tais que:
A ideia aqui é ajustar esses coeficientes , , e para que a combinação dos polinômios fornecidos seja igual a qualquer polinômio de terceiro grau.
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a expressão acima para igualá-la ao polinômio genérico :
Primeiro, expandimos :
Agora substituímos nas equações:
Vamos distribuir os 's:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes da expressão acima aos coeficientes do polinômio genérico :
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar , , e em termos de , , e .
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da quarta equação:
Resposta
Portanto, para qualquer polinômio , podemos expressá-lo como:
Assim, os polinômios , , e de fato geram todos os polinômios de grau menor ou igual a três.