Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é um espaço vetorial sobre os números reais, usando as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Se for um espaço vetorial, também precisamos encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é considerado um espaço vetorial se ele satisfaz oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de vetor nulo, etc. Vamos verificar algumas dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de , digamos
e
. Se somarmos esses vetores, teremos
. Observe que este resultado também está em
, já que
é um número real. Então,
é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos multiplicar um vetor de ,
, por um escalar
. O resultado será
, que também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Agora, vamos multiplicar um vetor de
Passo 5
Vamos verificar também a existência do vetor nulo. O vetor nulo em
é
. Este vetor pertence a
quando
, então o vetor nulo está em
.
Passo 6
Como
satisfaz essas propriedades, podemos concluir que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Observamos que qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é um número real. Portanto, o conjunto
serve como uma base para
.
Passo 8
Finalmente, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de
é 1.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial real. Uma base para
é
e sua dimensão é 1.