Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais, usando as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Se for um espaço vetorial, também precisamos encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é considerado um espaço vetorial se ele satisfaz oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de vetor nulo, etc. Vamos verificar algumas dessas propriedades para o conjunto .
Passo 3
Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de , digamos e . Se somarmos esses vetores, teremos . Observe que este resultado também está em , já que é um número real. Então, é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos multiplicar um vetor de , , por um escalar . O resultado será , que também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Vamos verificar também a existência do vetor nulo. O vetor nulo em é . Este vetor pertence a quando , então o vetor nulo está em .
Passo 6
Como satisfaz essas propriedades, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial sobre .
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Observamos que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é um número real. Portanto, o conjunto serve como uma base para .
Passo 8
Finalmente, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de é 1.
Resposta
Sim, é um espaço vetorial real. Uma base para é e sua dimensão é 1.