Seja
um intervalo da reta real e seja
o espaço vetorial das funções
que são contínuas. Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um intervalo
na reta real e um conjunto
que é formado por todas as funções contínuas de
para
. O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto
, que contém todas as funções de
que são deriváveis, é na verdade um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que define um subespaço vetorial e verificar se
atende a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero está em
. - Fechado sob adição: Se você pegar duas funções em
e somar, o resultado também precisa estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma função em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A função zero, para todo
em
, é contínua e derivável (sua derivada também é zero). Então,
. Portanto,
contém o vetor zero.
A função zero,
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Pegue duas funções e
em
. Isso significa que ambas são contínuas e deriváveis. A soma
também será contínua (porque a soma de funções contínuas é contínua) e derivável, já que a derivada de
é
, que existe. Assim,
. Então,
é fechado sob adição.
Pegue duas funções
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue uma função em
e um número real
. A função
é contínua (multiplicar uma função contínua por um escalar mantém a continuidade) e derivável, pois sua derivada é
. Portanto,
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Pegue uma função
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.