Seja I um intervalo da reta real e seja C(I) o espaço vetorial das funções f: I R que são contínuas. Mostre que o conjunto
W=f in C(I) ; f é derivável éá
é um subespaço vetorial de C(I).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um intervalo na reta real e um conjunto que é formado por todas as funções contínuas de para . O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto , que contém todas as funções de que são deriváveis, é na verdade um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que define um subespaço vetorial e verificar se atende a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas funções em e somar, o resultado também precisa estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma função em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A função zero, para todo em , é contínua e derivável (sua derivada também é zero). Então, . Portanto, contém o vetor zero.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Pegue duas funções e em . Isso significa que ambas são contínuas e deriváveis. A soma também será contínua (porque a soma de funções contínuas é contínua) e derivável, já que a derivada de é , que existe. Assim, . Então, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue uma função em e um número real . A função é contínua (multiplicar uma função contínua por um escalar mantém a continuidade) e derivável, pois sua derivada é . Portanto, . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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