Seja F(R) o conjunto de todas as funções f : R R( ver exercício 1 ).
(a) Seja C(R) o conjunto das funções f: R R que são contínuas. Mostre que C(R) é um subespaço vetorial de F(R).
(b) Seja
U=f in F(R) ; f(t)=f(-t), forall t in R
o conjunto das funções pares. Mostre que U é um subespaço de F(R).
© Seja
V=f in F(R) ; f(t)=-f(-t), forall t in R
o conjunto das funções ímpares. Mostre que V é um subespaço de F(R).
(d) Mostre que F(R)=U oplus V.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um conjunto chamado F(R), que é basicamente todas as funções que vão de números reais para números reais. A questão está dividida em quatro partes (a, b, c, d) e todas elas pedem para mostrar que certos subconjuntos desse conjunto maior são subespaços vetoriais. Pra isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa ter.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que C(R), o conjunto de todas as funções contínuas, é um subespaço de F(R). Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Presença do vetor zero: A função que sempre dá zero precisa estar no conjunto.
  2. Fechamento na adição: Se você pegar duas funções no conjunto e somar elas, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você pegar uma função no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para C(R):
  • Vetor zero: A função f(t) = 0 para todo t in R é contínua, então está em C(R).
  • Adição: Se f e g são contínuas, então f + g também é contínua.
  • Multiplicação por escalar: Se f é contínua e c é um número real, então c cdot f também é contínua.
Como todas as três condições são satisfeitas, C(R) é um subespaço vetorial de F(R).

Passo 3

Agora vamos para a parte (b). Aqui, temos o conjunto U, que consiste nas funções pares, ou seja, aquelas que satisfazem f(t) = f(-t) para todo t in R. Queremos mostrar que U é um subespaço de F(R).
Vamos verificar as mesmas três condições:
  1. Vetor zero: A função f(t) = 0 satisfaz f(t) = f(-t), então está em U.
  2. Adição: Se f e g são pares, então (f + g)(t) = f(t) + g(t) = f(-t) + g(-t) = (f + g)(-t), então f + g é par.
  3. Multiplicação por escalar: Se f é par e c é um número real, então (c cdot f)(t) = c cdot f(t) = c cdot f(-t) = (c cdot f)(-t), então c cdot f é par.
Como todas as condições são satisfeitas, U é um subespaço vetorial de F(R).

Passo 4

Seguimos para a parte ©. Agora, o conjunto V é composto pelas funções ímpares, que satisfazem f(t) = -f(-t) para todo t in R. Vamos mostrar que V também é um subespaço de F(R).
Verificando as três condições:
  1. Vetor zero: A função f(t) = 0 satisfaz f(t) = -f(-t) porque 0 = -0, então está em V.
  2. Adição: Se f e g são ímpares, então (f + g)(t) = f(t) + g(t) = -f(-t) - g(-t) = -(f(-t) + g(-t)) = -(f + g)(-t), então f + g é ímpar.
  3. Multiplicação por escalar: Se f é ímpar e c é um número real, então (c cdot f)(t) = c cdot f(t) = c cdot (-f(-t)) = -c cdot f(-t) = -(c cdot f)(-t), então c cdot f é ímpar.
Todas as condições são atendidas, então V é um subespaço vetorial de F(R).

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte (d), onde precisamos mostrar que F(R) = U oplus V. Isso significa que qualquer função em F(R) pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par e uma função ímpar.
Para isso, vamos fazer o seguinte:
  1. Existência: Para qualquer função f in F(R), podemos definir:
    fpar(t) = f(t) + f(-t)2
    fimpar(t) = f(t) - f(-t)2
    Assim, f = fpar + fimpar.
    Verificamos que fpar é par:
    fpar(-t) = f(-t) + f(t)2 = fpar(t)
    E que fimpar é ímpar:
    fimpar(-t) = f(-t) - f(t)2 = -f(t) - f(-t)2 = -fimpar(t)
  2. Unicidade: Suponha que f = u1 + v1 = u2 + v2, onde u1, u2 in U e v1, v2 in V. Então:
    u1 - u2 = v2 - v1
    O lado esquerdo é par e o lado direito é ímpar. A única função que é simultaneamente par e ímpar é a função zero. Portanto, u1 = u2 e v1 = v2, garantindo a unicidade.
Assim, F(R) é a soma direta de U e V, ou seja, F(R) = U oplus V.

Resposta

Concluímos que:
  • (a) C(R) é um subespaço vetorial de F(R).
  • (b) U, o conjunto das funções pares, é um subespaço de F(R).
  • © V, o conjunto das funções ímpares, é um subespaço de F(R).
  • (d) F(R) é a soma direta de U e V, ou seja, F(R) = U oplus V.

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