Seja
o conjunto de todas as funções
:
ver exercício 1
.
(a) Seja
o conjunto das funções
que são contínuas. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) Seja
o conjunto das funções pares. Mostre que
é um subespaço de
.
© Seja
o conjunto das funções ímpares. Mostre que
é um subespaço de
.
(d) Mostre que
.
(a) Seja
(b) Seja
© Seja
(d) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um conjunto chamado
, que é basicamente todas as funções que vão de números reais para números reais. A questão está dividida em quatro partes (a, b, c, d) e todas elas pedem para mostrar que certos subconjuntos desse conjunto maior são subespaços vetoriais. Pra isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa ter.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que
, o conjunto de todas as funções contínuas, é um subespaço de
. Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Presença do vetor zero: A função que sempre dá zero precisa estar no conjunto.
- Fechamento na adição: Se você pegar duas funções no conjunto e somar elas, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Se você pegar uma função no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para
:
- Vetor zero: A função
para todo é contínua, então está em . - Adição: Se
e são contínuas, então também é contínua. - Multiplicação por escalar: Se
é contínua e é um número real, então também é contínua.
Como todas as três condições são satisfeitas,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b). Aqui, temos o conjunto
, que consiste nas funções pares, ou seja, aquelas que satisfazem
para todo
. Queremos mostrar que
é um subespaço de
.
Vamos verificar as mesmas três condições:
- Vetor zero: A função
satisfaz , então está em . - Adição: Se
e são pares, então , então é par. - Multiplicação por escalar: Se
é par e é um número real, então , então é par.
Como todas as condições são satisfeitas,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Seguimos para a parte ©. Agora, o conjunto
é composto pelas funções ímpares, que satisfazem
para todo
. Vamos mostrar que
também é um subespaço de
.
Verificando as três condições:
- Vetor zero: A função
satisfaz porque , então está em . - Adição: Se
e são ímpares, então , então é ímpar. - Multiplicação por escalar: Se
é ímpar e é um número real, então , então é ímpar.
Todas as condições são atendidas, então
é um subespaço vetorial de
.
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte (d), onde precisamos mostrar que
. Isso significa que qualquer função em
pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par e uma função ímpar.
Para isso, vamos fazer o seguinte:
-
Existência: Para qualquer função
, podemos definir:
Assim,. Verificamos queé par: E queé ímpar: -
Unicidade: Suponha que
, onde e . Então:
O lado esquerdo é par e o lado direito é ímpar. A única função que é simultaneamente par e ímpar é a função zero. Portanto,e , garantindo a unicidade.
Assim,
é a soma direta de
e
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que:
- (a)
é um subespaço vetorial de . - (b)
, o conjunto das funções pares, é um subespaço de . - ©
, o conjunto das funções ímpares, é um subespaço de . - (d)
é a soma direta de e , ou seja, .