Mostre que se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se
, então
. A matéria envolvida aqui é trigonometria, mais especificamente identidades trigonométricas, e um pouco de álgebra com potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar expressões que envolvem cossenos a potências e como relacionar isso com os múltiplos de um ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso sugere que
e
são relacionados a ângulos trigonométricos. De fato, podemos considerar
como
, onde
é a unidade imaginária. Assim,
.
Passo 3
Vamos expressar
de forma exponencial usando a fórmula de Euler:
. Então, temos:
Passo 4
Agora, somando
e
:
Isso confirma a relação dada no enunciado.
Passo 5
Queremos encontrar
. Usando a mesma lógica, elevamos
à potência
:
E:
Passo 6
Agora, somando
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que
.