Mostre que se
x+1x=2 cos (theta)
então
x^n+1x^n=2 cos (n theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se , então . A matéria envolvida aqui é trigonometria, mais especificamente identidades trigonométricas, e um pouco de álgebra com potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar expressões que envolvem cossenos a potências e como relacionar isso com os múltiplos de um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso sugere que e são relacionados a ângulos trigonométricos. De fato, podemos considerar como , onde é a unidade imaginária. Assim, .

Passo 3

Vamos expressar x = e^itheta e 1x = e^-itheta de forma exponencial usando a fórmula de Euler: . Então, temos:

Passo 4

Agora, somando x + 1x = e^itheta + e^-itheta = 2cos(theta) e :
Isso confirma a relação dada no enunciado.

Passo 5

Queremos encontrar x^n = (e^itheta)^n = e^intheta . Usando a mesma lógica, elevamos 1x^n = (e^-itheta)^n = e^-intheta à potência :
E:

Passo 6

Agora, somando x^n + 1x^n = e^intheta + e^-intheta = 2cos(ntheta) e :

Resposta

Portanto, mostramos que .

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