Mostre que no ponto
a função
não é contínua e possui somente uma das derivadas parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função
definida por
não é contínua no ponto
e que ela tem apenas uma derivada parcial nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções em vários pontos e derivadas parciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, a gente precisa ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Então, vamos calcular:
Passo 3
Para calcular esse limite, uma técnica comum é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
. Se os limites forem diferentes, o limite geral não existe.
Primeiro caminho: Vamos deixar
.
Segundo caminho: Vamos deixar
.
Passo 4
Vimos que o limite ao longo de
é 0 e ao longo de
é -1. Como esses limites são diferentes, o limite geral não existe. Isso significa que:
Portanto,
não é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos falar das derivadas parciais. A derivada parcial em relação a
em
é:
Já a derivada parcial em relação a
é:
O último limite não existe porque tende a
ou
dependendo do lado que
se aproxima. Então, a derivada parcial em relação a
não existe em
.
Resposta
Então, concluímos que a função
não é contínua no ponto
e possui apenas uma derivada parcial (em relação a
) nesse ponto.