Mostre que no ponto (0,0) a função f(x, y) = { (x^3 - y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) != (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) } não é contínua e possui somente uma das derivadas parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função definida por
não é contínua no ponto e que ela tem apenas uma derivada parcial nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções em vários pontos e derivadas parciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, a gente precisa ver se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Então, vamos calcular:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma técnica comum é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Se os limites forem diferentes, o limite geral não existe.
Primeiro caminho: Vamos deixar .
Segundo caminho: Vamos deixar .

Passo 4

Vimos que o limite ao longo de é 0 e ao longo de é -1. Como esses limites são diferentes, o limite geral não existe. Isso significa que:
ã
Portanto, não é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos falar das derivadas parciais. A derivada parcial em relação a em é:
Já a derivada parcial em relação a é:
O último limite não existe porque tende a ou dependendo do lado que se aproxima. Então, a derivada parcial em relação a não existe em .

Resposta

Então, concluímos que a função não é contínua no ponto e possui apenas uma derivada parcial (em relação a ) nesse ponto.

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