Seja z = x f(y/x) - g(y/x), onde f e g são de classe C^1. Mostre que zx + y/x zy = f(y/x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função , onde e são funções diferenciáveis. A tarefa é mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, consideramos como constante e aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, consideramos como constante:
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão :
Distribuindo :

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão. Observe que os termos e se cancelam, assim como e . Portanto, sobra apenas:

Resposta

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