Seja
, onde
e
são de classe
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função
, onde
e
são funções diferenciáveis. A tarefa é mostrar que
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, consideramos
como constante e aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, consideramos
como constante:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão
:
Distribuindo
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão. Observe que os termos
e
se cancelam, assim como
e
. Portanto, sobra apenas: