Mostre que o Princípio de Boa Ordenação implica o Princípio da Indução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o Princípio de Boa Ordenação implica o Princípio da Indução. Isso está dentro da matéria de Matemática Discreta, mais especificamente em Teoria dos Conjuntos Numéricos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada princípio diz e como um pode levar ao outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Princípio de Boa Ordenação. Esse princípio afirma que todo conjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento. Isso significa que, se você pegar qualquer grupo de números naturais, sempre vai ter um que é o menor dentre eles.

Passo 3

Agora, o Princípio da Indução é uma ferramenta poderosa para provar proposições que dependem de números naturais. Basicamente, ele diz que se você pode provar uma afirmação para o primeiro número (geralmente o 1) e, além disso, provar que se ela é verdadeira para um número qualquer , então ela também é verdadeira para , então a afirmação é verdadeira para todo número natural.

Passo 4

Para mostrar que o Princípio de Boa Ordenação implica o Princípio da Indução, vamos assumir que o Princípio de Boa Ordenação é verdadeiro e usar isso para provar o Princípio da Indução.

Passo 5

Vamos considerar que queremos provar uma proposição para todo número natural . Segundo a Indução, precisamos verificar duas coisas:
  1. Base da Indução: é verdadeira.
  2. Passo Indutivo: Se é verdadeira, então também é verdadeira.

Passo 6

Agora, vamos supor que tenha algum número natural para o qual não é verdadeira. Ou seja, existe um conjunto dos números naturais onde falha. Segundo o Princípio de Boa Ordenação, esse conjunto tem um menor elemento, digamos .

Passo 7

Como é o menor elemento de , ele não pode ser 1 (pois provamos que é verdadeira). Isso significa que é pelo menos 2. Portanto, é um número natural menor que , e como é o menor elemento de , deve ser verdadeira.

Passo 8

Mas, pelo passo indutivo, se é verdadeira, então também deveria ser verdadeira. Isso é uma contradição, já que assumimos que está em , onde não é verdadeira.

Passo 9

Essa contradição mostra que nossa suposição de que existe algum número onde falha está errada. Portanto, deve ser verdadeira para todo número natural.

Resposta

Assim, mostramos que o Princípio de Boa Ordenação implica o Princípio da Indução.

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