Resolva os sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
(g) 3 x+2 y-4 z & =1 x-y+z & =3 x-y-3 z & =-3 3 x+3 y-5 z & =0 -x+y+z & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um sistema com 5 equações e 3 incógnitas (x, y, z). O objetivo é:
  1. Montar a matriz ampliada do sistema.
  2. Reduzir essa matriz para a forma escada usando operações de linha (isso ajuda a resolver o sistema de forma mais fácil).
  3. Determinar os postos da matriz ampliada e da matriz dos coeficientes.
  4. Verificar se o sistema é possível (tem solução) e, se sim, encontrar o grau de liberdade (quantas variáveis podem ser livres).
Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como operações com matrizes e conceitos de posto e soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e as constantes das equações. Para o nosso sistema:
3 & 2 & -4 & | & 1 1 & -1 & 1 & | & 3 1 & -1 & -3 & | & -3 3 & 3 & -5 & | & 0 -1 & 1 & 1 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escada usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra). O objetivo é facilitar a resolução do sistema.
Primeira operação: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 dividindo a primeira linha por 3.
1 & 23 & -43 & | & 13 1 & -1 & 1 & | & 3 1 & -1 & -3 & | & -3 3 & 3 & -5 & | & 0 -1 & 1 & 1 & | & 1

Passo 4

Segunda operação: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quinta linhas, e subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha.
1 & 23 & -43 & | & 13 0 & -53 & 73 & | & 83 0 & -53 & -53 & | & -103 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & 53 & -13 & | & 43

Passo 5

Terceira operação: Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por 1 & 23 & -43 & | & 13 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & -53 & -53 & | & -103 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & 53 & -13 & | & 43 para obter um 1 no segundo pivô.

Passo 6

Quarta operação: Vamos zerar os elementos abaixo e acima do segundo pivô (que agora é 1 na segunda linha). Para isso:
  • Adicionamos 1 & 0 & -25 & | & 35 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 25 & | & 35 0 & 0 & 75 & | & 125 vezes a segunda linha à terceira linha.
  • Subtraímos a segunda linha da quarta linha.
  • Subtraímos vezes a segunda linha da quinta linha.
  • Subtraímos vezes a segunda linha da primeira linha.

Passo 7

Quinta operação: Agora, vamos lidar com o terceiro pivô. Podemos ver que a terceira linha está toda zero, o que indica que temos uma equação redundante. Vamos focar nas linhas restantes.
Primeiro, multiplicamos a quarta linha por 1 & 0 & -25 & | & 35 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 32 0 & 0 & 75 & | & 125 para obter um 1 no terceiro pivô.

Passo 8

Sexta operação: Vamos zerar o elemento abaixo do terceiro pivô na quinta linha. Para isso, subtraímos 1 & 0 & -25 & | & 35 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 32 0 & 0 & 0 & | & 35 vezes a quarta linha da quinta linha.

Passo 9

Agora, temos a matriz na forma escada:
1 & 0 & -25 & | & 35 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 32 0 & 0 & 0 & | & 35

Passo 10

Agora, vamos determinar os postos:
  • Posto da matriz ampliada: É o número de linhas não nulas na matriz escalonada. Aqui, temos 4 linhas não nulas.
  • Posto da matriz dos coeficientes: É o número de linhas não nulas na parte dos coeficientes (sem a coluna das constantes). Também é 4.
Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema é possível.

Passo 11

Porém, como temos mais equações que incógnitas e o posto é igual, isso significa que o sistema é compatível determinado, e não haverá grau de liberdade, ou seja, há uma única solução.

Resposta

A solução do sistema é:
x = 35 + 25z
y = -85 + 75z
z = 32
Substituindo x = 35 + 25 times 32 = 35 + 35 = 65 :
y = -85 + 75 times 32 = -85 + 2110 = -1610 + 2110 = 510 = 12
z = 32
(x, y, z) = ( 65, 12, 32 )
Portanto, a solução única do sistema é:

Exercícios relacionados

Reduza as matrizes à forma escada por linhas e o seu posto e nulidade.
© [rrr0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1]
Sejam
A=[rrr 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 ], B=[rrr -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 ], C=[r -1 2 4 ], D=[ll 2 & -1 ]
(b) A cdot C
Mostre que o Princípio de Boa Ordenação implica o Princípio da Indução.
[rr3 & -2 -2 & -3]^-1[rr-3 & -2 2 & -3]