Resolva os sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um sistema com 5 equações e 3 incógnitas (x, y, z). O objetivo é:
Montar a matriz ampliada do sistema.
Reduzir essa matriz para a forma escada usando operações de linha (isso ajuda a resolver o sistema de forma mais fácil).
Determinar os postos da matriz ampliada e da matriz dos coeficientes.
Verificar se o sistema é possível (tem solução) e, se sim, encontrar o grau de liberdade (quantas variáveis podem ser livres).
Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como operações com matrizes e conceitos de posto e soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e as constantes das equações. Para o nosso sistema:
Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escada usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra). O objetivo é facilitar a resolução do sistema.
Primeira operação: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 dividindo a primeira linha por 3.
Segunda operação: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quinta linhas, e subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha.
Subtraímos vezes a segunda linha da primeira linha.
Passo 7
Quinta operação: Agora, vamos lidar com o terceiro pivô. Podemos ver que a terceira linha está toda zero, o que indica que temos uma equação redundante. Vamos focar nas linhas restantes.
Primeiro, multiplicamos a quarta linha por 1 & 0 & -25 & | & 35 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 32 0 & 0 & 75 & | & 125 para obter um 1 no terceiro pivô.
Passo 8
Sexta operação: Vamos zerar o elemento abaixo do terceiro pivô na quinta linha. Para isso, subtraímos 1 & 0 & -25 & | & 35 0 & 1 & -75 & | & -85 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 32 0 & 0 & 0 & | & 35 vezes a quarta linha da quinta linha.
Posto da matriz ampliada: É o número de linhas não nulas na matriz escalonada. Aqui, temos 4 linhas não nulas.
Posto da matriz dos coeficientes: É o número de linhas não nulas na parte dos coeficientes (sem a coluna das constantes). Também é 4.
Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema é possível.
Passo 11
Porém, como temos mais equações que incógnitas e o posto é igual, isso significa que o sistema é compatível determinado, e não haverá grau de liberdade, ou seja, há uma única solução.
Resposta
A solução do sistema é:
x = 35 + 25z
y = -85 + 75z
z = 32
Substituindo x = 35 + 25 times 32 = 35 + 35 = 65 :
y = -85 + 75 times 32 = -85 + 2110 = -1610 + 2110 = 510 = 12