Seja T: R^2 longrightarrow R dada por T(x, y)=3 x+2 y.
Determine os subespaços vetoriais núcleo Ker(T) e a imagem Im(T);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve transformações lineares. Temos a transformação definida por . Nosso objetivo é determinar o núcleo da transformação, chamado de , e a imagem da transformação, denominada . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e entender como encontrar esses conjuntos para uma transformação linear específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação linear Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em pela transformação . Ou seja,
Para encontrar , precisamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos resolver a equação 2y = -3x implies y = -32x para encontrar todas as soluções possíveis . Podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, resolvendo para :
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como , onde é um número real.

Passo 4

Podemos representar (x, -32x) = x (1, -32) de forma vetorial, fatorando :
Isso mostra que o núcleo é um subespaço unidimensional de gerado pelo vetor .

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da transformação Im(T) = T(x, y) mid (x, y) in R^2 = 3x + 2y mid x, y in R , que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Matematicamente,
Como é uma expressão linear em , a imagem de é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Resposta

O núcleo da transformação é o conjunto e a imagem é .

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