Seja
dada por
.
Determine os subespaços vetoriais núcleo
e a imagem
;
Determine os subespaços vetoriais núcleo
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve transformações lineares. Temos a transformação
definida por
. Nosso objetivo é determinar o núcleo da transformação, chamado de
, e a imagem da transformação, denominada
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e entender como encontrar esses conjuntos para uma transformação linear específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação linear
. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
pela transformação
. Ou seja,
Para encontrar
, precisamos resolver a equação
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar todas as soluções possíveis
. Podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, resolvendo para
:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como
, onde
é um número real.
Passo 4
Podemos representar
de forma vetorial, fatorando
:
Isso mostra que o núcleo é um subespaço unidimensional de
gerado pelo vetor
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da transformação
, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Matematicamente,
Como
é uma expressão linear em
, a imagem de
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Resposta
O núcleo da transformação
é o conjunto
e a imagem é
.