Seja T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: Ker(T) e Im(T);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para o Núcleo de ( ) e para a Imagem de ( ). Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar bases para eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = x - 3y + 5z = 0 -x + 4y - z = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em pela transformação . Ou seja, queremos resolver o sistema:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações lineares. Vamos somar as duas equações para eliminar (x - 3y + 5z) + (-x + 4y - z) = 0 + 0 (0x) + (y) + (4z) = 0 y + 4z = 0 Rightarrow y = -4z :

Passo 4

Agora, substituímos x - 3(-4z) + 5z = 0 x + 12z + 5z = 0 x + 17z = 0 Rightarrow x = -17z na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Agora expressamos todas as variáveis em termos de x = -17z y = -4z z = z :
(x, y, z) = z cdot (-17, -4, 1)
Podemos escrever isso como:
Isso mostra que o núcleo de é gerado pelo vetor .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -3 & 5 -1 & 4 & -1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Para encontrar uma base para a imagem, vamos determinar quais são as combinações lineares das colunas da matriz associada a .
A matriz de é:

Passo 7

Vamos verificar se as colunas de 1 & -3 -1 & 4 são linearmente independentes. Calculamos o determinante de algumas combinações ou trazemos a matriz para a forma escalonada.
Observando as duas primeiras colunas:
O determinante é , que é diferente de zero. Isso significa que as duas primeiras colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para o núcleo de é e uma base para a imagem de é .

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