Seja
dada por
.
Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais:
e
;
Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar uma base para o Núcleo de
(
) e para a Imagem de
(
). Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar bases para eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
pela transformação
. Ou seja, queremos resolver o sistema:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações lineares. Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Passo 5
Agora expressamos todas as variáveis em termos de
:
Podemos escrever isso como:
Isso mostra que o núcleo de
é gerado pelo vetor
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
. Para encontrar uma base para a imagem, vamos determinar quais são as combinações lineares das colunas da matriz associada a
.
A matriz de
é:
Passo 7
Vamos verificar se as colunas de
são linearmente independentes. Calculamos o determinante de algumas combinações ou trazemos a matriz para a forma escalonada.
Observando as duas primeiras colunas:
O determinante é
, que é diferente de zero. Isso significa que as duas primeiras colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de
.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é
e uma base para a imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
.
Determine os subespaços vetoriais núcleo e a imagem
;
Determine os subespaços vetoriais núcleo
Mostre a proposição 2.4 .3 para matrizes
quaisquer.
Seja
a transformação linear tal que
Determine uma base para o subespaço
.
Sabendo que
é um operador linear e que
determine
, onde
é um vetor genérico de
.