Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que uma das propriedades mais conhecidas dos logaritmos, que funciona no mundo real, também vale para os logaritmos no mundo complexo. Especificamente, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo no campo dos números complexos e usar algumas propriedades básicas desses logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definido o logaritmo complexo. Para um número complexo
, podemos escrever ele na forma polar:
Aqui,
é o módulo de
(a distância até a origem) e
é o argumento de
(o ângulo com o eixo real positivo). O logaritmo complexo de
é então dado por:
É importante notar que
pode ter infinitas representações, pois adicionamos
(com
inteiro) sem mudar o número
. Mas para simplificar, vamos considerar o principal valor de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar os dois números complexos
e
com suas respectivas formas polares:
Multiplicando
por
, temos:
Passo 4
Aplicando o logaritmo complexo nesse produto, obtemos:
Sabemos que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, então:
Juntando tudo:
Resposta
Prontinho! Mostramos que:
Então, a propriedade dos logaritmos que conhecemos continua valendo no campo dos números complexos.
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