Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que uma das propriedades mais conhecidas dos logaritmos, que funciona no mundo real, também vale para os logaritmos no mundo complexo. Especificamente, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo no campo dos números complexos e usar algumas propriedades básicas desses logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido o logaritmo complexo. Para um número complexo , podemos escrever ele na forma polar:
Aqui, é o módulo de (a distância até a origem) e é o argumento de (o ângulo com o eixo real positivo). O logaritmo complexo de é então dado por:
É importante notar que pode ter infinitas representações, pois adicionamos (com inteiro) sem mudar o número . Mas para simplificar, vamos considerar o principal valor de .

Passo 3

Agora, vamos considerar os dois números complexos e com suas respectivas formas polares:
Multiplicando por , temos:

Passo 4

Aplicando o logaritmo complexo nesse produto, obtemos:
Sabemos que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, então:
Juntando tudo:

Resposta

Prontinho! Mostramos que:
Então, a propriedade dos logaritmos que conhecemos continua valendo no campo dos números complexos.

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Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
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Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja: