Mostre que é subgrupo de dotado com a multiplicação usual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números racionais não nulos, , forma um subgrupo de com a multiplicação comum. A matéria envolvida aqui é a teoria de grupos, especificamente a verificação de subgrupos. Para resolver isso, precisamos lembrar os critérios que definem um subgrupo e aplicá-los a dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Um subgrupo é um subconjunto que, com a mesma operação, também forma um grupo.

Passo 3

Vamos verificar se atende aos critérios para ser um subgrupo de :
  1. Fechamento: Precisamos ver se, ao multiplicar dois elementos de , o resultado também está em . Como a multiplicação de dois racionais dá outro racional e nenhum dos multiplicandos é zero, o produto também não será zero. Portanto, é fechado sob multiplicação.
  2. Elemento neutro: Em , o elemento neutro para a multiplicação é 1. Como 1 é um número racional e não é zero, ele pertence a .
  3. Inversos: Para cada elemento , devemos ter seu inverso multiplicativo . Como é racional e não zero, seu inverso também é racional e não zero.
  4. Associatividade: A multiplicação é associativa tanto em quanto em , pois a associatividade é uma propriedade herdada do conjunto maior.

Resposta

Como satisfaz todas as propriedades necessárias (fechamento, elemento neutro, inversos e associatividade) para ser um grupo e está contido em com a operação de multiplicação, concluímos que é de fato um subgrupo de .

Exercícios relacionados

Seja um subconjunto não-vazio de um grupo . Mostre que é subgrupo de se e somente se para todo , vale .
A partir da definição de grupos, mostre que o elemento neutro de um grupo é único.
Mostre que os subgrupos de são e .