Mostre que
é subgrupo de
dotado com a multiplicação usual.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números racionais não nulos,
, forma um subgrupo de
com a multiplicação comum. A matéria envolvida aqui é a teoria de grupos, especificamente a verificação de subgrupos. Para resolver isso, precisamos lembrar os critérios que definem um subgrupo e aplicá-los a
dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Um subgrupo é um subconjunto que, com a mesma operação, também forma um grupo.
Passo 3
Vamos verificar se
atende aos critérios para ser um subgrupo de
:
-
Fechamento: Precisamos ver se, ao multiplicar dois elementos de
, o resultado também está em . Como a multiplicação de dois racionais dá outro racional e nenhum dos multiplicandos é zero, o produto também não será zero. Portanto, é fechado sob multiplicação. -
Elemento neutro: Em
, o elemento neutro para a multiplicação é 1. Como 1 é um número racional e não é zero, ele pertence a . -
Inversos: Para cada elemento
, devemos ter seu inverso multiplicativo . Como é racional e não zero, seu inverso também é racional e não zero. -
Associatividade: A multiplicação é associativa tanto em
quanto em , pois a associatividade é uma propriedade herdada do conjunto maior.
Resposta
Como
satisfaz todas as propriedades necessárias (fechamento, elemento neutro, inversos e associatividade) para ser um grupo e está contido em
com a operação de multiplicação, concluímos que
é de fato um subgrupo de
.
Exercícios relacionados
Seja
um subconjunto não-vazio de um grupo
. Mostre que
é subgrupo de
se e somente se para todo
, vale
.
A partir da definição de grupos, mostre que o elemento neutro de um grupo é único.
Mostre que os subgrupos de
são
e
.