A partir da definição de grupos, mostre que o elemento neutro de um grupo é único.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o elemento neutro em um grupo é único, usando a definição de grupo. Então, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática e o que significa ter um elemento neutro. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz certas propriedades (fechamento, existência de inversos, associatividade e existência do elemento neutro). O elemento neutro é aquele que, quando usado na operação com qualquer elemento do grupo, não muda esse elemento. Vamos precisar usar essas definições para provar que esse elemento neutro só pode ser um único.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de elemento neutro. Em um grupo
, o elemento neutro
satisfaz:
Isso significa que, para qualquer elemento
no grupo, multiplicar por
à esquerda ou à direita não muda
.
Passo 3
Agora, para mostrar que o elemento neutro é único, vamos supor que existam dois elementos neutros no grupo, digamos
e
. Vamos usar a propriedade do elemento neutro para relacionar
e
.
Passo 4
Como
é neutro, podemos usá-lo para o elemento
:
Isso porque
não muda o elemento com que é operado.
Passo 5
Por outro lado,
também é neutro, então podemos usá-lo para o elemento
:
Isso porque
também não muda o elemento com que é operado.
Passo 6
Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos:
Mas sabemos que
e
. Então:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, o elemento neutro em um grupo é único.
Exercícios relacionados
Três hastes de aço (
) suportam uma carga
, aplicada no meio do seguimento
. As hastes
e CD possuem seçăo transversal de
e a haste EF 625
de seção transversal. O elemento BD é rigido. Considere regime elástico. Détermine: Os diâmetros nos pinos localizados em B e em D, considerando uma tensão de cisalhamento admissivel de 135 MPa para o caso de cisalhamento duplo.
Três hastes de aço (
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, aplicada no meio do seguimento
. As hastes
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e a haste EF 625
de seção transversal. O elemento BD é rigido. Considere regime elástico. Détermine: A tensão em cada haste.
Seja
um subconjunto não-vazio de um grupo
. Mostre que
é subgrupo de
se e somente se para todo
, vale
.
Mostre que
é subgrupo de
dotado com a multiplicação usual.