A partir da definição de grupos, mostre que o elemento neutro de um grupo é único.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o elemento neutro em um grupo é único, usando a definição de grupo. Então, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática e o que significa ter um elemento neutro. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz certas propriedades (fechamento, existência de inversos, associatividade e existência do elemento neutro). O elemento neutro é aquele que, quando usado na operação com qualquer elemento do grupo, não muda esse elemento. Vamos precisar usar essas definições para provar que esse elemento neutro só pode ser um único.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de elemento neutro. Em um grupo forall a in G, e cdot a = a cdot e = a , o elemento neutro satisfaz:
Isso significa que, para qualquer elemento no grupo, multiplicar por à esquerda ou à direita não muda .

Passo 3

Agora, para mostrar que o elemento neutro é único, vamos supor que existam dois elementos neutros no grupo, digamos e . Vamos usar a propriedade do elemento neutro para relacionar e .

Passo 4

Como e cdot e' = e' é neutro, podemos usá-lo para o elemento :
Isso porque não muda o elemento com que é operado.

Passo 5

Por outro lado, e' cdot e = e também é neutro, então podemos usá-lo para o elemento :
Isso porque também não muda o elemento com que é operado.

Passo 6

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos:
e cdot e' = e' cdot e
Mas sabemos que e' = e e . Então:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, o elemento neutro em um grupo é único.

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