Seja H um subconjunto não-vazio de um grupo G. Mostre que H é subgrupo de G se e somente se para todo h1, h2 in H, vale h1 h2^-1 in H.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto H que não tá vazio dentro de um grupo G. A gente precisa mostrar que H é realmente um subgrupo de G se e somente se para quaisquer elementos h1 e h2 em H, o produto h1 h2^-1 também está em H. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e usar algumas propriedades básicas de grupos, como a existência de identidade e inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa H ser um subgrupo de G. Um subgrupo precisa satisfazer três condições:
  1. Fechamento: Para todo a, b in H, o produto ab está em H.
  2. Elemento identidade: O elemento identidade de G está em H.
  3. Inversos: Para todo a in H, o inverso a^-1 está em H.
Vamos mostrar que essas condições são equivalentes à condição dada no problema.

Passo 3

Se H é um subgrupo de G, então, por definição, ele satisfaz fechamento, contém a identidade e todos os inversos. Vamos provar que para quaisquer h1, h2 in H, o elemento h1 h2^-1 in H.
  • Já que h2 in H e H contém inversos, h2^-1 in H.
  • Como H é fechado, o produto de h1 e h2^-1, ou seja, h1 h2^-1, também está em H.
Assim, a condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos supor que para todo h1, h2 in H, temos h1 h2^-1 in H, e queremos mostrar que H é um subgrupo de G.
  • Conjunto não vazio: O enunciado já garante que H não está vazio.
  • Elemento identidade: Seja h in H (como H não está vazio, existe pelo menos um elemento). Usando a condição, h h^-1 = e in H, onde e é a identidade de G.
  • Fechamento e inversos:
    • Para fechamento, pegue quaisquer a, b in H. Queremos mostrar que ab in H. Sabemos que b^-1 in H (usando a condição com h1 = b e h2 = e, já que e in H). Então, a (b^-1)^-1 = a b in H.
    • Para inversos, já vimos que h^-1 in H usando h e o elemento identidade.
Portanto, todas as condições para H ser um subgrupo são satisfeitas.

Resposta

Assim, mostramos que H é um subgrupo de G se e somente se para todo h1, h2 in H, o produto h1 h2^-1 está em H.

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