Seja
um subconjunto não-vazio de um grupo
. Mostre que
é subgrupo de
se e somente se para todo
, vale
.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto
que não tá vazio dentro de um grupo
. A gente precisa mostrar que
é realmente um subgrupo de
se e somente se para quaisquer elementos
e
em
, o produto
também está em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e usar algumas propriedades básicas de grupos, como a existência de identidade e inversos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser um subgrupo de
. Um subgrupo precisa satisfazer três condições:
- Fechamento: Para todo
, o produto está em . - Elemento identidade: O elemento identidade de
está em . - Inversos: Para todo
, o inverso está em .
Vamos mostrar que essas condições são equivalentes à condição dada no problema.
Passo 3
Se
é um subgrupo de
, então, por definição, ele satisfaz fechamento, contém a identidade e todos os inversos. Vamos provar que para quaisquer
, o elemento
.
- Já que
e contém inversos, . - Como
é fechado, o produto de e , ou seja, , também está em .
Assim, a condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos supor que para todo
, temos
, e queremos mostrar que
é um subgrupo de
.
- Conjunto não vazio: O enunciado já garante que
não está vazio. - Elemento identidade: Seja
(como não está vazio, existe pelo menos um elemento). Usando a condição, , onde é a identidade de . - Fechamento e inversos:
- Para fechamento, pegue quaisquer
. Queremos mostrar que . Sabemos que (usando a condição com e , já que ). Então, . - Para inversos, já vimos que
usando e o elemento identidade.
- Para fechamento, pegue quaisquer
Portanto, todas as condições para
ser um subgrupo são satisfeitas.
Resposta
Assim, mostramos que
é um subgrupo de
se e somente se para todo
, o produto
está em
.
Exercícios relacionados
A partir da definição de grupos, mostre que o elemento neutro de um grupo é único.
Três hastes de aço (
) suportam uma carga
, aplicada no meio do seguimento
. As hastes
e CD possuem seçăo transversal de
e a haste EF 625
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Mostre que
é subgrupo de
dotado com a multiplicação usual.