Seja um subconjunto não-vazio de um grupo . Mostre que é subgrupo de se e somente se para todo , vale .

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto que não tá vazio dentro de um grupo . A gente precisa mostrar que é realmente um subgrupo de se e somente se para quaisquer elementos e em , o produto também está em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e usar algumas propriedades básicas de grupos, como a existência de identidade e inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subgrupo de . Um subgrupo precisa satisfazer três condições:
  1. Fechamento: Para todo , o produto está em .
  2. Elemento identidade: O elemento identidade de está em .
  3. Inversos: Para todo , o inverso está em .
Vamos mostrar que essas condições são equivalentes à condição dada no problema.

Passo 3

Se é um subgrupo de , então, por definição, ele satisfaz fechamento, contém a identidade e todos os inversos. Vamos provar que para quaisquer , o elemento .
  • Já que e contém inversos, .
  • Como é fechado, o produto de e , ou seja, , também está em .
Assim, a condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos supor que para todo , temos , e queremos mostrar que é um subgrupo de .
  • Conjunto não vazio: O enunciado já garante que não está vazio.
  • Elemento identidade: Seja (como não está vazio, existe pelo menos um elemento). Usando a condição, , onde é a identidade de .
  • Fechamento e inversos:
    • Para fechamento, pegue quaisquer . Queremos mostrar que . Sabemos que (usando a condição com e , já que ). Então, .
    • Para inversos, já vimos que usando e o elemento identidade.
Portanto, todas as condições para ser um subgrupo são satisfeitas.

Resposta

Assim, mostramos que é um subgrupo de se e somente se para todo , o produto está em .

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