Seja (G, *) um grupo. Define-se o centro de G por:
Z(G)=g in G mid g * x=x * g forall x in G
(a) Mostre que Z(G) é um subgrupo de G.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um grupo Z(G) = g in G mid g * x = x * g forall x in G e queremos mostrar que o centro de , denotado por , é um subgrupo de . Aqui, o centro é o conjunto de todos os elementos de que comutam com todos os outros elementos de , ou seja:
Para provar que é um subgrupo, vamos verificar se ele satisfaz os critérios necessários para ser um subgrupo de .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se não está vazio. Sabemos que todo grupo possui o elemento neutro , e esse elemento satisfaz para todo . Portanto, , o que mostra que não está vazio.

Passo 3

O próximo passo é garantir que (a * b) * x = a * (b * x) = a * (x * b) = (a * x) * b = (x * a) * b = x * (a * b) seja fechado sob a operação do grupo. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer e em , então o resultado da operação também deve estar em .
Para isso, vamos considerar e verificar se comuta com qualquer elemento :
Assim, comuta com todos os , ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a * x = x * a é fechado sob a operação de inverso. Isso significa que para todo elemento a^-1 * (a * x) = a^-1 * (x * a) , o inverso (a^-1 * a) * x = a^-1 * x * a também deve estar em e * x = a^-1 * x * a implies x = a^-1 * x * a .
Vamos considerar x * a = a^-1 * x * a * a implies x * a = a^-1 * x * e implies x * a = a^-1 * x e verificar se a * x = x comuta com qualquer :
Aplicando inversos dos dois lados:
Usando a associatividade:
Simplificando:
Multiplicando à direita:
Multiplicando à esquerda:
O que já sabemos que é verdade porque . Portanto, também comuta com todo , ou seja, .

Resposta

Concluímos que não está vazio, é fechado sob a operação do grupo e sob a operação de inverso. Portanto, é um subgrupo de .

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