Seja
um grupo. Define-se o centro de
por:
(a) Mostre que
é um subgrupo de
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um grupo
e queremos mostrar que o centro de
, denotado por
, é um subgrupo de
. Aqui, o centro
é o conjunto de todos os elementos de
que comutam com todos os outros elementos de
, ou seja:
Para provar que
é um subgrupo, vamos verificar se ele satisfaz os critérios necessários para ser um subgrupo de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se
não está vazio. Sabemos que todo grupo possui o elemento neutro
, e esse elemento satisfaz
para todo
. Portanto,
, o que mostra que
não está vazio.
Passo 3
O próximo passo é garantir que
seja fechado sob a operação do grupo. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer
e
em
, então o resultado da operação
também deve estar em
.
Para isso, vamos considerar
e verificar se
comuta com qualquer elemento
:
Assim,
comuta com todos os
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
é fechado sob a operação de inverso. Isso significa que para todo elemento
, o inverso
também deve estar em
.
Vamos considerar
e verificar se
comuta com qualquer
:
Aplicando inversos dos dois lados:
Usando a associatividade:
Simplificando:
Multiplicando
à direita:
Multiplicando
à esquerda:
O que já sabemos que é verdade porque
. Portanto,
também comuta com todo
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que
não está vazio, é fechado sob a operação do grupo e sob a operação de inverso. Portanto,
é um subgrupo de
.