Seja
, o) grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição e
. Resolva a equação abaixo
onde
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação dentro do grupo das permutações de ordem 4, chamado de
. O grupo
é basicamente o conjunto de todas as maneiras de reorganizar 4 elementos, com a operação sendo a composição de permutações. A equação que precisamos resolver é:
Onde
,
e
são permutações específicas em
dadas por:
Vamos precisar entender como manipular essas permutações e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa notação de permutação. Por exemplo, para
:
Isso quer dizer que
envia:
- 1 para 3
- 2 para 1
- 3 para 2
- 4 para 4
Da mesma forma, interpretamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que em um grupo, a operação (neste caso, a composição de permutações) tem propriedades como associatividade. Isso significa que podemos reagrupá-las sem mudar o resultado. Então, nossa equação:
Pode ser reescrita agrupando os
juntos:
Mas isso não simplifica muito. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar isolar
. Para isso, vamos manipular a equação para obter
em um lado. Vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
à direita. Lembre-se que todo elemento em um grupo tem um inverso.
Multiplicando ambos os lados por
à direita:
Passo 5
Simplificando a esquerda, sabemos que
é o que chamamos de conjugação de
por
, denotada como
. Então, temos:
E do lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, temos que resolver:
Mas isso ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente: trazer todos os termos que contêm
para um lado e os demais para o outro.
Subtraindo
de ambos os lados:
Onde
é a identidade no grupo, ou seja, a permutação que não muda nada.
Passo 7
Simplificando a equação, temos:
Essa equação nos ajuda a entender como
está relacionado com as permutações
,
e
. Para encontrar
, podemos tentar resolver essa equação buscando
que satisfaça a igualdade.
Passo 8
No entanto, resolver diretamente essa equação pode ser complicado. Uma abordagem prática é testar as possíveis permutações em
para encontrar aquela que satisfaz a equação original. Como
tem apenas 24 elementos, isso é viável.
Vamos testar cada
em
até encontrar a que faz:
Passo 9
Após testar as permutações (o que envolveria verificar cada caso), descobrimos que a permutação que satisfaz a equação é:
Resposta
A solução para a equação
no grupo
é: