Mostre que, para qualquer ângulo de elevação theta0 (em relação à horizontal), a altura máxima atingida por um projétil é metade do que seria no mesmo instante se a gravidade fosse ignorada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para qualquer ângulo de lançamento theta0, a altura máxima que um projétil atinge é metade do que seria se a gravidade não existisse. Vamos usar conceitos de cinemática para resolver isso. Vamos precisar das fórmulas de altura máxima com e sem a ação da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a situação com gravidade. Quando lançamos um projétil com velocidade inicial v0 e ângulo theta0, a componente vertical da velocidade é v0y = v0 sin theta0. A altura máxima H ocorre quando a velocidade vertical fica zero devido à aceleração da gravidade g.

Passo 3

A fórmula para a altura máxima com gravidade é:
H = v0y^22g = (v0 sin theta0)^22g = v0^2 sin^2 theta02g

Passo 4

Agora, vamos imaginar a situação sem gravidade. Sem a gravidade, a velocidade vertical do projétil não muda, ou seja, v0y permanece constante. Se analisarmos a altura no mesmo instante em que, com gravidade, o projétil atinge a altura máxima, o tempo até esse ponto seria t = v0 sin theta0g.

Passo 5

A altura sem gravidade nesse tempo seria:
Hsem gravidade = v0y cdot t = v0 sin theta0 cdot v0 sin theta0g = v0^2 sin^2 theta0g

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas alturas:
H = v0^2 sin^2 theta02g = 12 cdot v0^2 sin^2 theta0g = 12 Hsem gravidade

Resposta

Portanto, a altura máxima atingida pelo projétil com gravidade é metade da altura que seria alcançada no mesmo instante se a gravidade fosse ignorada.

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