Uma partícula move-se de modo que sua posição em função do tempo é dada por
onde
e
. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração como funções do tempo. © Qual é a forma da trajetória da partícula?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos a posição de uma partícula em função do tempo, dada por uma função vetorial. Precisamos encontrar:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
© A forma da trajetória que a partícula descreve.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudarão a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a velocidade da partícula em função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição
em relação a
.
A função posição é:
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a : Como é uma constante, a derivada é 0. - Derivada de
em relação a : Usando a regra do poder, a derivada é . - Derivada de
em relação a : A derivada é .
Então, a velocidade
é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 3
Parte (b): Encontrar a aceleração da partícula em função do tempo
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da função velocidade
que encontramos no passo anterior.
A função velocidade é:
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a : 0. - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : 0, já que é constante.
Então, a aceleração
é:
Passo 4
Parte ©: Determinar a forma da trajetória da partícula
Para encontrar a forma da trajetória, precisamos relacionar as componentes de
sem o tempo
.
A posição é dada por:
Isso significa que:
-
m (constante) -
m -
m
Como
é constante, a partícula se move no plano definido pelas direções
e
. Podemos relacionar
e
eliminando
:
De
, temos
.
Substituindo na equação de
:
Então, a equação da trajetória é:
Isso representa uma parábola no plano
, com
fixo em 1,0 m.
Resposta
(a) A velocidade da partícula é:
(b) A aceleração da partícula é:
© A trajetória da partícula é uma parábola no plano
, definida pela equação:
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