Uma partícula move-se de modo que sua posição em função do tempo é dada por
r(t)=A i+B t^2 j+C t k
onde A=1,0 m, B=4,0 m / s^2 e C=1,0 m / s. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração como funções do tempo. © Qual é a forma da trajetória da partícula?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos a posição de uma partícula em função do tempo, dada por uma função vetorial. Precisamos encontrar:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
© A forma da trajetória que a partícula descreve.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudarão a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a velocidade da partícula em função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição r(t) = A i + B t^2 j + C t k em relação a v(t) = 0 i + 2B t j + C k .
A função posição é:
v(t) = 0 i + 2 times 4,0 , t j + 1,0 k
Vamos derivar cada termo:
  • Derivada de v(t) = 0 i + 8,0 , t j + 1,0 k m/s em relação a : Como é uma constante, a derivada é 0.
  • Derivada de em relação a : Usando a regra do poder, a derivada é .
  • Derivada de em relação a : A derivada é .
Então, a velocidade é:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Parte (b): Encontrar a aceleração da partícula em função do tempo
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da função velocidade v(t) = 0 i + 8,0 , t j + 1,0 k que encontramos no passo anterior.
A função velocidade é:
a(t) = 0 i + 8,0 j + 0 k m/s^2
Vamos derivar cada termo:
  • Derivada de em relação a : 0.
  • Derivada de em relação a : .
  • Derivada de em relação a : 0, já que é constante.
Então, a aceleração é:

Passo 4

Parte ©: Determinar a forma da trajetória da partícula
Para encontrar a forma da trajetória, precisamos relacionar as componentes de r(t) = 1,0 i + 4,0 , t^2 j + 1,0 , t k sem o tempo y = 4,0 ( z1,0 )^2 = 4,0 , z^2 .
A posição é dada por:
y = 4,0 , z^2
Isso significa que:
  • m (constante)
  • m
  • m
Como é constante, a partícula se move no plano definido pelas direções e . Podemos relacionar e eliminando :
De , temos .
Substituindo na equação de :
Então, a equação da trajetória é:
Isso representa uma parábola no plano , com fixo em 1,0 m.

Resposta

(a) A velocidade da partícula é:
v(t) = 0 i + 8,0 , t j + 1,0 k m/s
(b) A aceleração da partícula é:
a(t) = 0 i + 8,0 j + 0 k m/s^2
© A trajetória da partícula é uma parábola no plano y = 4,0 , z^2 , definida pela equação:

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