Uma partícula move-se de modo que sua posição em função do tempo é dada por
onde e . Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração como funções do tempo. © Qual é a forma da trajetória da partícula?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos a posição de uma partícula em função do tempo, dada por uma função vetorial. Precisamos encontrar:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
© A forma da trajetória que a partícula descreve.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudarão a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a velocidade da partícula em função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição em relação a .
A função posição é:
Vamos derivar cada termo:
  • Derivada de em relação a : Como é uma constante, a derivada é 0.
  • Derivada de em relação a : Usando a regra do poder, a derivada é .
  • Derivada de em relação a : A derivada é .
Então, a velocidade é:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Parte (b): Encontrar a aceleração da partícula em função do tempo
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da função velocidade que encontramos no passo anterior.
A função velocidade é:
Vamos derivar cada termo:
  • Derivada de em relação a : 0.
  • Derivada de em relação a : .
  • Derivada de em relação a : 0, já que é constante.
Então, a aceleração é:

Passo 4

Parte ©: Determinar a forma da trajetória da partícula
Para encontrar a forma da trajetória, precisamos relacionar as componentes de sem o tempo .
A posição é dada por:
Isso significa que:
  • m (constante)
  • m
  • m
Como é constante, a partícula se move no plano definido pelas direções e . Podemos relacionar e eliminando :
De , temos .
Substituindo na equação de :
Então, a equação da trajetória é:
Isso representa uma parábola no plano , com fixo em 1,0 m.

Resposta

(a) A velocidade da partícula é:
(b) A aceleração da partícula é:
© A trajetória da partícula é uma parábola no plano , definida pela equação:

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