Partindo da definição de altura do ressalto,
, mostre que em um canal retangular, a relação entre a altura do ressalto e a energia específica na entrada
só depende do número de Froude no escoamento de aproximação e vale:
Faça um gráfico de
versus
Faça um gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde precisamos relacionar a altura do ressalto (
) com a energia específica na entrada (
) num canal retangular. O conteúdo envolve o número de Froude (
), que é importante para caracterizar o escoamento em canais abertos. Pra resolver isso, vamos precisar usar as definições de energia específica e número de Froude, além de manipular algumas equações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia específica (
) num ponto do escoamento aberto. Ela é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial por unidade de peso. A fórmula é:
onde:
-
é a profundidade do fluxo, -
é a velocidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o número de Froude (
), que é uma medida adimensional usada para comparar a velocidade do fluxo com a velocidade de propagação de ondas na superfície do fluido. A fórmula do número de Froude é:
Esse número nos ajuda a identificar regimes de escoamento, como supercrítico e subcrítico.
Passo 4
Vamos aplicar a definição de altura do ressalto:
, onde
é a profundidade antes do ressalto e
é a profundidade após o ressalto. Nosso objetivo é encontrar a relação entre
e
, a energia específica na entrada.
Passo 5
A energia específica na entrada (
) pode ser expressa usando a profundidade inicial
e a velocidade
:
Usando a relação do número de Froude na entrada:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Após o ressalto, na profundidade
, a energia específica
é igual a
(conservação da energia). Então:
Também sabemos que a velocidade após o ressalto
está relacionada com a profundidade
:
Mas, em canais retangulares, a vazão
é constante, então
. Usando a definição de
e
, podemos relacionar
com
.
Passo 7
Para simplificar, vamos expressar todas as variáveis em termos de
e
. Considerando
, queremos expressar
em função de
.
Depois de manipular as equações e resolver para
, chegamos à relação:
Resposta
A relação entre a altura do ressalto e a energia específica na entrada num canal retangular, em função do número de Froude
, é dada por:
Além disso, para visualizar como
varia com
no intervalo de
, você pode plotar essa função utilizando um software como Python com matplotlib. Aqui está um exemplo de código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Fr1 = np.linspace(1, 14, 100)
hj_E1 = (np.sqrt(1 + 8 * Fr1**2) - 3) / (2 + Fr1**2)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(Fr1, hj_E1, label=r'$\frac{h_j}{E_1}$ vs $\mathrm{Fr}_1$')
plt.xlabel(r'Número de Froude $\mathrm{Fr}_1$')
plt.ylabel(r'$\frac{h_j}{E_1}$')
plt.title(r'Gráfico de $\frac{h_j}{E_1}$ versus $\mathrm{Fr}_1$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Esse gráfico vai mostrar como a razão
varia com o número de Froude
no intervalo especificado.