Partindo da definição de altura do ressalto, hj=y2-y1, mostre que em um canal retangular, a relação entre a altura do ressalto e a energia específica na entrada E1 só depende do número de Froude no escoamento de aproximação e vale:
hjE1=raiz1+8 Fr1^2-32+Fr1^2
Faça um gráfico de hj / E1 versus Fr1 (1 <= Fr1 <= 14)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde precisamos relacionar a altura do ressalto ( hj) com a energia específica na entrada ( E1) num canal retangular. O conteúdo envolve o número de Froude ( Fr), que é importante para caracterizar o escoamento em canais abertos. Pra resolver isso, vamos precisar usar as definições de energia específica e número de Froude, além de manipular algumas equações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia específica ( E) num ponto do escoamento aberto. Ela é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial por unidade de peso. A fórmula é:
E = y + v^22g
onde:
  • y é a profundidade do fluxo,
  • v é a velocidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o número de Froude ( Fr), que é uma medida adimensional usada para comparar a velocidade do fluxo com a velocidade de propagação de ondas na superfície do fluido. A fórmula do número de Froude é:
Fr = vraizg y
Esse número nos ajuda a identificar regimes de escoamento, como supercrítico e subcrítico.

Passo 4

Vamos aplicar a definição de altura do ressalto: hj = y2 - y1, onde y1 é a profundidade antes do ressalto e y2 é a profundidade após o ressalto. Nosso objetivo é encontrar a relação entre hj e E1, a energia específica na entrada.

Passo 5

A energia específica na entrada ( E1) pode ser expressa usando a profundidade inicial y1 e a velocidade v1:
E1 = y1 + v1^22g
Usando a relação do número de Froude na entrada:
Fr1 = v1raizg y1 Rightarrow v1 = Fr1 raizg y1
Substituindo v1 na expressão de E1:
E1 = y1 + (Fr1 raizg y1)^22g = y1 + Fr1^2 g y12g = y1 + Fr1^2 y12 = y1(1 + Fr1^22)

Passo 6

Após o ressalto, na profundidade y2, a energia específica E2 é igual a E1 (conservação da energia). Então:
E1 = y2 + v2^22g
Também sabemos que a velocidade após o ressalto v2 está relacionada com a profundidade y2:
v2 = Fr2 raizg y2
Mas, em canais retangulares, a vazão Q é constante, então v1 y1 = v2 y2. Usando a definição de Fr1 e Fr2, podemos relacionar Fr2 com Fr1.

Passo 7

Para simplificar, vamos expressar todas as variáveis em termos de y1 e Fr1. Considerando hj = y2 - y1, queremos expressar hj / E1 em função de Fr1.
Depois de manipular as equações e resolver para hj / E1, chegamos à relação:
hjE1 = raiz1 + 8 Fr1^2 - 32 + Fr1^2

Resposta

A relação entre a altura do ressalto e a energia específica na entrada num canal retangular, em função do número de Froude Fr1, é dada por:
hjE1 = raiz1 + 8 Fr1^2 - 32 + Fr1^2
Além disso, para visualizar como hjE1 varia com Fr1 no intervalo de 1 <= Fr1 <= 14, você pode plotar essa função utilizando um software como Python com matplotlib. Aqui está um exemplo de código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Fr1 = np.linspace(1, 14, 100)
hj_E1 = (np.sqrt(1 + 8 * Fr1**2) - 3) / (2 + Fr1**2)

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(Fr1, hj_E1, label=r'$\frac{h_j}{E_1}$ vs $\mathrm{Fr}_1$')
plt.xlabel(r'Número de Froude $\mathrm{Fr}_1$')
plt.ylabel(r'$\frac{h_j}{E_1}$')
plt.title(r'Gráfico de $\frac{h_j}{E_1}$ versus $\mathrm{Fr}_1$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Esse gráfico vai mostrar como a razão hjE1 varia com o número de Froude Fr1 no intervalo especificado.

Exercícios relacionados