Responda
ou
, justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em
está contido em alguma base de
.
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que "cada conjunto de vetores linearmente independente em
está contido em alguma base de
". Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente independência linear e bases. Para resolver isso, precisamos saber o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e o que é uma base de um espaço vetorial.
Passo 2
Vamos começar definindo linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, se tivermos vetores
em
, eles são linearmente independentes se a única solução para a equação
for
.
Passo 3
Agora, uma base de
é um conjunto de
vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 4
A afirmação está dizendo que, se temos um conjunto de vetores que é linearmente independente, então sempre podemos completar esse conjunto para formar uma base de
. Isso é verdade porque, em um espaço vetorial de dimensão finita como
, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes pode ser expandido adicionando mais vetores até que o conjunto tenha exatamente
vetores, formando assim uma base.
Resposta
V