Responda V ou F, justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em R^n está contido em alguma base de R^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que "cada conjunto de vetores linearmente independente em R^n está contido em alguma base de R^n". Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente independência linear e bases. Para resolver isso, precisamos saber o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e o que é uma base de um espaço vetorial.

Passo 2

Vamos começar definindo linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, se tivermos vetores v1, v2, dots, vk em R^n, eles são linearmente independentes se a única solução para a equação a1v1 + a2v2 + dots + akvk = 0 for a1 = a2 = dots = ak = 0.

Passo 3

Agora, uma base de R^n é um conjunto de n vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^n. Isso significa que qualquer vetor em R^n pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 4

A afirmação está dizendo que, se temos um conjunto de vetores que é linearmente independente, então sempre podemos completar esse conjunto para formar uma base de R^n. Isso é verdade porque, em um espaço vetorial de dimensão finita como R^n, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes pode ser expandido adicionando mais vetores até que o conjunto tenha exatamente n vetores, formando assim uma base.

Resposta

V

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