Usando indução, prove: Para cada inteiro
é par.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução, que para todo número inteiro
, a expressão
é par. A matéria que estamos usando aqui é a prova por indução matemática, que é uma técnica para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar entender como a indução funciona: estabelecemos um caso base e depois mostramos que se a afirmação é verdadeira para um número qualquer
, então também é verdadeira para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é o menor valor de
. Aqui,
:
0 é um número par, então o caso base está ok.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro
. Isso significa que:
Esse é o nosso hipótese de indução. Queremos mostrar que, se isso é verdadeiro para
, então também é verdadeiro para
.
Passo 4
Vamos calcular
e simplificar:
Podemos reescrever isso como:
Note que
é par pela hipótese de indução, e
também é par porque é múltiplo de 2.
Passo 5
A soma de dois números pares é sempre par. Portanto, se
é par e
é par, então:
Isso mostra que a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo inteiro
,
é par.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial de matrizes 2 X 2 triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de . Ache
.
duas bases de
Seja
um plano determinado pelos pontos
e
. Sabe-se que a distância entre os pontos
e
, com
, é
. Calcule a distância entre o ponto
e o plano
.
Responda
ou
, justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em está contido em alguma base de
.
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em
Mostre que a reta
dada pela intersecção dos planos
e
é paralela ao plano
, e calcule a distância entre
e
.