Usando indução, prove: Para cada inteiro é par.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução, que para todo número inteiro , a expressão é par. A matéria que estamos usando aqui é a prova por indução matemática, que é uma técnica para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar entender como a indução funciona: estabelecemos um caso base e depois mostramos que se a afirmação é verdadeira para um número qualquer , então também é verdadeira para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é o menor valor de . Aqui, :
0 é um número par, então o caso base está ok.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro . Isso significa que:
é
Esse é o nosso hipótese de indução. Queremos mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também é verdadeiro para .

Passo 4

Vamos calcular e simplificar:
Podemos reescrever isso como:
Note que é par pela hipótese de indução, e também é par porque é múltiplo de 2.

Passo 5

A soma de dois números pares é sempre par. Portanto, se é par e é par, então:
é
Isso mostra que a afirmação é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo inteiro , é par.

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e
duas bases de . Ache .
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Responda ou , justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em está contido em alguma base de .
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