Usando indução, prove: Para cada inteiro n >= 0, n^2+n é par.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução, que para todo número inteiro n >= 0, a expressão n^2 + n é par. A matéria que estamos usando aqui é a prova por indução matemática, que é uma técnica para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar entender como a indução funciona: estabelecemos um caso base e depois mostramos que se a afirmação é verdadeira para um número qualquer k, então também é verdadeira para k+1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é o menor valor de n. Aqui, n = 0:
0^2 + 0 = 0
0 é um número par, então o caso base está ok.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro k >= 0. Isso significa que:
k^2 + k é par é
Esse é o nosso hipótese de indução. Queremos mostrar que, se isso é verdadeiro para k, então também é verdadeiro para k+1.

Passo 4

Vamos calcular (k+1)^2 + (k+1) e simplificar:
(k+1)^2 + (k+1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + 3k + 2
Podemos reescrever isso como:
k^2 + k + 2k + 2
Note que k^2 + k é par pela hipótese de indução, e 2k + 2 também é par porque é múltiplo de 2.

Passo 5

A soma de dois números pares é sempre par. Portanto, se k^2 + k é par e 2k + 2 é par, então:
k^2 + 3k + 2 é par é
Isso mostra que a afirmação é verdadeira para k+1.

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo inteiro n >= 0, n^2 + n é par.

Exercícios relacionados