Mostre que as retas e são paralelas e calcule a distância entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações:
  • Reta :
  • Reta :
Queremos mostrar que essas retas são paralelas e calcular a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e fórmulas de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando.
Para a reta :
Já está na forma paramétrica, então o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :
Para a reta :
Vamos reescrever as equações para encontrar a parametrização.
A reta está definida por:
Podemos expressar em termos de a partir da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar como :
Então, o vetor diretor é:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas:
Observamos que eles são exatamente iguais. Isso significa que as retas e têm a mesma direção e, portanto, são paralelas.

Passo 4

Com as retas sendo paralelas, podemos calcular a distância entre elas usando a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta.
  • é o vetor diretor comum às duas retas.
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Vamos pegar para facilitar.
Ponto na reta :
Então,
Ponto na reta :
Então,
Agora, o vetor que liga a é:
O vetor diretor é:
Vamos calcular o produto vetorial e depois o módulo desse produto.
Agora, o módulo de é:
O módulo de é:
Finalmente, a distância é:

Resposta

A distância entre as retas e é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcular:
Sejam e um subespaço do .
(a) Encontre uma base para tal que .
(b) Encontre um vetor tal que .
© O conjunto é uma base para o ?
Seja . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
© .
(d) e .
(e) e .
Seja
Se e . Verifique se com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre .