Mostre que as retas r:lx+2 y+3 z-6=0 y-2 z+1=0 e s:lx=-7 t y=2 t-1 z=t+5 são paralelas e calcule a distância entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações:
  • Reta x + 2y + 3z - 6 = 0 y - 2z + 1 = 0 :
    x = -7t y = 2t - 1 z = t + 5
  • Reta :
Queremos mostrar que essas retas são paralelas e calcular a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e fórmulas de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando.
Para a reta vs = (-7, , 2, , 1) :
Já está na forma paramétrica, então o vetor diretor x + 2y + 3z = 6 y - 2z = -1 é formado pelos coeficientes de y = 2z - 1 :
x + 2(2z - 1) + 3z = 6 x + 4z - 2 + 3z = 6 x + 7z = 8 x = 8 - 7z
Para a reta x = 8 - 7t y = 2t - 1 z = t :
Vamos reescrever as equações para encontrar a parametrização.
A reta vr = (-7, , 2, , 1) está definida por:
Podemos expressar em termos de a partir da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar como :
Então, o vetor diretor é:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas:
vr = (-7, , 2, , 1) vs = (-7, , 2, , 1)
Observamos que eles são exatamente iguais. Isso significa que as retas e têm a mesma direção e, portanto, são paralelas.

Passo 4

Com as retas sendo paralelas, podemos calcular a distância entre elas usando a seguinte fórmula:
d = |u cdot (v)||v|
Onde:
  • t = 0 Rightarrow x = 8 - 7(0) = 8 y = 2(0) - 1 = -1 z = 0 é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta.
  • t = 0 Rightarrow x = -7(0) = 0 y = 2(0) - 1 = -1 z = 0 + 5 = 5 é o vetor diretor comum às duas retas.
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Vamos pegar u = Ps - Pr = (0 - 8, , -1 - (-1), , 5 - 0) = (-8, , 0, , 5) para facilitar.
Ponto na reta v = (-7, , 2, , 1) :
u times v = i & j & k -8 & 0 & 5 -7 & 2 & 1 = i(0 cdot 1 - 5 cdot 2) - j(-8 cdot 1 - 5 cdot (-7)) + k(-8 cdot 2 - 0 cdot (-7))
Então, = i(0 - 10) - j(-8 + 35) + k(-16 - 0) = -10i - 27j - 16k
Ponto na reta |u times v| = raiz(-10)^2 + (-27)^2 + (-16)^2 = raiz100 + 729 + 256 = raiz1085 approx 32.94 :
|v| = raiz(-7)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz49 + 4 + 1 = raiz54 approx 7.35
Então, d = 32.947.35 approx 4.48
Agora, o vetor que liga a é:
O vetor diretor é:
Vamos calcular o produto vetorial e depois o módulo desse produto.
Agora, o módulo de é:
O módulo de é:
Finalmente, a distância é:

Resposta

A distância entre as retas e é aproximadamente unidades.

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