Mostre que as retas e são paralelas e calcule a distância entre elas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações:
Reta :
Reta :
Queremos mostrar que essas retas são paralelas e calcular a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e fórmulas de distância entre retas paralelas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando.
Para a reta :
Já está na forma paramétrica, então o vetor diretor é formado pelos coeficientes de :
Para a reta :
Vamos reescrever as equações para encontrar a parametrização.
A reta está definida por:
Podemos expressar em termos de a partir da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar como :
Então, o vetor diretor é:
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas:
Observamos que eles são exatamente iguais. Isso significa que as retas e têm a mesma direção e, portanto, são paralelas.
Passo 4
Com as retas sendo paralelas, podemos calcular a distância entre elas usando a seguinte fórmula:
Onde:
é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta.
é o vetor diretor comum às duas retas.
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Vamos pegar para facilitar.
Ponto na reta :
Então,
Ponto na reta :
Então,
Agora, o vetor que liga a é:
O vetor diretor é:
Vamos calcular o produto vetorial e depois o módulo desse produto.
Agora, o módulo de é:
O módulo de é:
Finalmente, a distância é:
Resposta
A distância entre as retas e é aproximadamente unidades.