Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar quais dos subconjuntos dados são subespaços do espaço , onde . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços.
Para resolver, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição, ou seja, se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer número real, o resultado também está no subespaço.
Vamos verificar essas condições para cada um dos subconjuntos (a) a (e).
Passo 2
Analisando o item (a):.
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é o polinômio . Substituindo :
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Sejam e em , então:
Considerando :
Então, também está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.
Passo 3
Analisando o item (b):.
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Para o polinômio zero:
Então,
O vetor zero está em .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Sejam e em :
Considerando :
Então, também satisfaz a condição , ou seja, está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, também satisfaz todas as condições para ser um subespaço.