Seja V=Pn(R), n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
(a) W=p in V: p(0)=0.
(b) W=p in V: p(0)=2 p(1).
© W=p in V: p(x)+p^prime(x)=0.
(d) W=p in V: p(2)=0 e p(5) neq 0.
(e) W=p in V: p=a0+a2 x^2+cdots+a2 k x^2 k e 2 k <= n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar quais dos subconjuntos dados são subespaços do espaço , onde . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços.
Para resolver, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição, ou seja, se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer número real, o resultado também está no subespaço.
Vamos verificar essas condições para cada um dos subconjuntos (a) a (e).

Passo 2

Analisando o item (a): p(0) = 0 .
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em p(0) = 0 e q(0) = 0 . O vetor zero em (p + q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0 é o polinômio (cp)(0) = c cdot p(0) = c cdot 0 = 0 . Substituindo :
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Sejam e em , então:
Considerando :
Então, também está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Passo 3

Analisando o item (b): p(0) = 0 e p(1) = 0 .
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 = 2 cdot 0 implies 0 = 0 . Para o polinômio zero:
p(0) = 2p(1) e q(0) = 2q(1)
Então,
(p + q)(0) = p(0) + q(0) = 2p(1) + 2q(1) = 2(p(1) + q(1)) = 2(p + q)(1)
O vetor zero está em (cp)(0) = c cdot p(0) = c cdot 2p(1) = 2(cp)(1) .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Sejam e em :
Considerando :
Então, também satisfaz a condição , ou seja, está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, também satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Passo 4

Analisando o item ©: p(x) + p'(x) = 0 + 0 = 0 .
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em p(x) + p'(x) = 0 e q(x) + q'(x) = 0 . Para (p + q)(x) + (p + q)'(x) = p(x) + q(x) + p'(x) + q'(x) = [p(x) + p'(x)] + [q(x) + q'(x)] = 0 + 0 = 0 :
(cp)(x) + (cp)'(x) = c cdot p(x) + c cdot p'(x) = c(p(x) + p'(x)) = c cdot 0 = 0
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Sejam e em :
Considerando :
Então, também está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Passo 5

Analisando o item (d): p(2) = 0 e p(5) = 0 .
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Para :
No entanto, o construto diz que . Então, o vetor zero não está em .
Já que o vetor zero não pertence a , ele não pode ser um subespaço, pois uma das condições básicas não é satisfeita.

Passo 6

Analisando o item (e):
W = p in V : p = a0 + a2x^2 + cdots + a2kx^2k e 2k <= n
Aqui, p(x) = 0 = 0 + 0x^2 + cdots + 0x^2k consiste em polinômios que possuem apenas termos de grau par até p(x) = a0 + a2x^2 + cdots + a2kx^2k , onde q(x) = b0 + b2x^2 + cdots + b2kx^2k .
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em (p + q)(x) = (a0 + b0) + (a2 + b2)x^2 + cdots + (a2k + b2k)x^2k . O vetor zero pode ser representado como:
(cp)(x) = c a0 + c a2x^2 + cdots + c a2kx^2k
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Sejam e em , então:
Considerando :
Perceba que a soma ainda terá apenas termos de grau par até , então está em .
Para a multiplicação por escalar :
Os termos continuam sendo de grau par até , então também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Resposta

Os subconjuntos (a), (b), © e (e) são subespaços de , enquanto o subconjunto (d) não é um subespaço de .

Exercícios relacionados