Seja . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
© .
(d) e .
(e) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar quais dos subconjuntos dados são subespaços do espaço , onde . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços.
Para resolver, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição, ou seja, se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer número real, o resultado também está no subespaço.
Vamos verificar essas condições para cada um dos subconjuntos (a) a (e).

Passo 2

Analisando o item (a): .
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é o polinômio . Substituindo :
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Sejam e em , então:
Considerando :
Então, também está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Passo 3

Analisando o item (b): .
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Para o polinômio zero:
Então,
O vetor zero está em .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Sejam e em :
Considerando :
Então, também satisfaz a condição , ou seja, está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, também satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Passo 4

Analisando o item ©: .
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em . Para :
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Sejam e em :
Considerando :
Então, também está em .
Para a multiplicação por escalar :
Assim, também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Passo 5

Analisando o item (d): .
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Para :
No entanto, o construto diz que . Então, o vetor zero não está em .
Já que o vetor zero não pertence a , ele não pode ser um subespaço, pois uma das condições básicas não é satisfeita.

Passo 6

Analisando o item (e):
Aqui, consiste em polinômios que possuem apenas termos de grau par até , onde .
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero pode ser representado como:
Então, o vetor zero está em .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Sejam e em , então:
Considerando :
Perceba que a soma ainda terá apenas termos de grau par até , então está em .
Para a multiplicação por escalar :
Os termos continuam sendo de grau par até , então também está em .
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço.

Resposta

Os subconjuntos (a), (b), © e (e) são subespaços de , enquanto o subconjunto (d) não é um subespaço de .

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Mostre que as retas e são paralelas e calcule a distância entre elas.
Dados os vetores e , calcular:
Seja
Se e . Verifique se com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre .
Sejam e e reta que contém os pontos e . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano .