Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
e
.
(e)
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar quais dos subconjuntos dados são subespaços do espaço
, onde
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços.
Para resolver, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição, ou seja, se você pegar dois vetores no subespaço e somar, o resultado também está no subespaço.
- É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer número real, o resultado também está no subespaço.
Vamos verificar essas condições para cada um dos subconjuntos (a) a (e).
Passo 2
Analisando o item (a):
.
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Substituindo
:
Então, o vetor zero está em
.
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Sejam
e
em
, então:
Considerando
:
Então,
também está em
.
Para a multiplicação por escalar
:
Assim,
também está em
.
Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um subespaço.
Passo 3
Analisando o item (b):
.
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. Para o polinômio zero:
Então,
O vetor zero está em
.
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Sejam
e
em
:
Considerando
:
Então,
também satisfaz a condição
, ou seja, está em
.
Para a multiplicação por escalar
:
Assim,
também está em
.
Portanto,
também satisfaz todas as condições para ser um subespaço.
Passo 4
Analisando o item ©:
.
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em
. Para
:
Então, o vetor zero está em
.
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Sejam
e
em
:
Considerando
:
Então,
também está em
.
Para a multiplicação por escalar
:
Assim,
também está em
.
Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um subespaço.
Passo 5
Analisando o item (d):
.
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. Para
:
No entanto, o construto diz que
. Então, o vetor zero não está em
.
Já que o vetor zero não pertence a
, ele não pode ser um subespaço, pois uma das condições básicas não é satisfeita.
Passo 6
Analisando o item (e):
Aqui,
consiste em polinômios que possuem apenas termos de grau par até
, onde
.
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero pode ser representado como:
Então, o vetor zero está em
.
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Sejam
e
em
, então:
Considerando
:
Perceba que a soma ainda terá apenas termos de grau par até
, então
está em
.
Para a multiplicação por escalar
:
Os termos continuam sendo de grau par até
, então
também está em
.
Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um subespaço.
Resposta
Os subconjuntos (a), (b), © e (e) são subespaços de
, enquanto o subconjunto (d) não é um subespaço de
.