Seja
V=(x1, ldots, xn) in R^n: xi=i a, i=1, ldots, n, e a in R
Se u=(x1, ldots, xn) in V e v=(y1, ldots, yn) in V. Verifique se V com as operações de adição
u+v=(x1+y1, ldots, xn+yn)
e multiplicação por escalar
a u=(a x1, ldots, a xn)
é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto composto por vetores da forma onde cada componente é igual a vezes um número real . O objetivo aqui é verificar se , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar entender os conceitos básicos de espaços vetoriais e conferir se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de adição, também permite a multiplicação por escalar, obedecendo a algumas regras específicas (chamadas de axiomas). Essas regras garantem, por exemplo, que a soma de dois vetores é outro vetor do conjunto, que existe um vetor zero, entre outras propriedades.

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada em como são definidas as operações no conjunto u + v = (x1 + y1, ldots, xn + yn) :
  • Adição de vetores: Se a u = (a x1, ldots, a xn) e estão em , então
  • Multiplicação por escalar: Se é um número real e está em , então
Precisamos verificar se, com essas operações, cumpre todos os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 4

Vamos começar verificando se a adição está bem definida em u + v = (a + b, 2a + 2b, 3a + 3b, ldots, n a + n b) = (a + b, 2(a + b), 3(a + b), ldots, n(a + b)), . Isso significa que, somando dois vetores de , o resultado também deve estar em .
Supponhamos que e estão em . Então,
que está na forma com . Portanto, a soma também está em .

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Ou seja, multiplicar um vetor de k u = (k a, 2k a, 3k a, ldots, n k a) = (c, 2c, 3c, ldots, nc), por um número real deve resultar em outro vetor que também está em .
Tomando em e multiplicando por :
onde . Esse vetor também está na forma exigida para pertencer a . Assim, a multiplicação por escalar também está bem definida.

Passo 6

Além disso, precisamos confirmar alguns axiomas básicos:
  1. Existência do vetor zero: O vetor pertence a quando , já que .
  2. Existência de inversos aditivos: Para qualquer em , existe também em , pois .
  3. Associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros, seguem diretamente das propriedades dos números reais e das operações coordenadas.

Resposta

Sim, o conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial sobre .

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