Seja
Se
e
. Verifique se
com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
composto por vetores da forma
onde cada componente
é igual a
vezes um número real
. O objetivo aqui é verificar se
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos básicos de espaços vetoriais e conferir se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de adição, também permite a multiplicação por escalar, obedecendo a algumas regras específicas (chamadas de axiomas). Essas regras garantem, por exemplo, que a soma de dois vetores é outro vetor do conjunto, que existe um vetor zero, entre outras propriedades.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada em como são definidas as operações no conjunto
:
-
Adição de vetores: Se
e estão em , então -
Multiplicação por escalar: Se
é um número real e está em , então
Precisamos verificar se, com essas operações,
cumpre todos os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 4
Vamos começar verificando se a adição está bem definida em
. Isso significa que, somando dois vetores de
, o resultado também deve estar em
.
Supponhamos que
e
estão em
. Então,
que está na forma
com
. Portanto, a soma também está em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Ou seja, multiplicar um vetor de
por um número real
deve resultar em outro vetor que também está em
.
Tomando
em
e multiplicando por
:
onde
. Esse vetor também está na forma exigida para pertencer a
. Assim, a multiplicação por escalar também está bem definida.
Passo 6
Além disso, precisamos confirmar alguns axiomas básicos:
-
Existência do vetor zero: O vetor
pertence a quando , já que . -
Existência de inversos aditivos: Para qualquer
em , existe também em , pois . -
Associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros, seguem diretamente das propriedades dos números reais e das operações coordenadas.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial sobre
.