Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto composto por vetores da forma onde cada componente é igual a vezes um número real . O objetivo aqui é verificar se , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar entender os conceitos básicos de espaços vetoriais e conferir se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de adição, também permite a multiplicação por escalar, obedecendo a algumas regras específicas (chamadas de axiomas). Essas regras garantem, por exemplo, que a soma de dois vetores é outro vetor do conjunto, que existe um vetor zero, entre outras propriedades.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada em como são definidas as operações no conjunto :
Adição de vetores: Se e estão em , então
Multiplicação por escalar: Se é um número real e está em , então
Precisamos verificar se, com essas operações, cumpre todos os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 4
Vamos começar verificando se a adição está bem definida em . Isso significa que, somando dois vetores de , o resultado também deve estar em .
Supponhamos que e estão em . Então,
que está na forma com . Portanto, a soma também está em .
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Ou seja, multiplicar um vetor de por um número real deve resultar em outro vetor que também está em .
Tomando em e multiplicando por :
onde . Esse vetor também está na forma exigida para pertencer a . Assim, a multiplicação por escalar também está bem definida.
Passo 6
Além disso, precisamos confirmar alguns axiomas básicos:
Existência do vetor zero: O vetor pertence a quando , já que .
Existência de inversos aditivos: Para qualquer em , existe também em , pois .
Associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros, seguem diretamente das propriedades dos números reais e das operações coordenadas.
Resposta
Sim, o conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial sobre .