Ortogonalize a base
do subespaço
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para ortogonalizar a base
do subespaço
. Isso significa que queremos encontrar um conjunto de vetores que sejam todos mutuamente perpendiculares (ou seja, o produto interno entre qualquer par deles é zero) e que ainda “gerem” o mesmo subespaço
. Para resolver isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que é uma técnica para ortogonalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o primeiro vetor ortogonal. Começamos com o primeiro vetor da base original:
Este será o nosso primeiro vetor ortogonal.
Passo 3
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor
em relação a
. Para isso, subtraímos a projeção de
em
do próprio
:
Calculando os produtos internos:
Então:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 4
Vamos agora ortogonalizar o terceiro vetor
em relação a
e
. Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Calculando:
Agora, calculamos a projeção de
em
:
Calculando os produtos internos:
Então:
Agora, subtraímos essas projeções de
para obter
:
Resposta
A base ortogonal de
é: