Ortogonalize a base alpha=(1,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,3,4) do subespaço W subset R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para ortogonalizar a base do subespaço . Isso significa que queremos encontrar um conjunto de vetores que sejam todos mutuamente perpendiculares (ou seja, o produto interno entre qualquer par deles é zero) e que ainda “gerem” o mesmo subespaço . Para resolver isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que é uma técnica para ortogonalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o primeiro vetor ortogonal. Começamos com o primeiro vetor da base original:
u1 = v1 = (1, 1, 0, 0)
Este será o nosso primeiro vetor ortogonal.

Passo 3

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 em relação a v2 cdot u1 = 0 times 1 + 1 times 1 + 2 times 0 + 0 times 0 = 1 . Para isso, subtraímos a projeção de u1 cdot u1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = 2 em proju1(v2) = ( 12 ) (1, 1, 0, 0) = ( 12, 12, 0, 0 ) do próprio u2 = v2 - proju1(v2) = ( 0 - 12, 1 - 12, 2 - 0, 0 - 0 ) = ( -12, 12, 2, 0 ) :
Calculando os produtos internos:
Então:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :

Passo 4

Vamos agora ortogonalizar o terceiro vetor proju1(v3) = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 em relação a v3 cdot u1 = 0 times 1 + 0 times 1 + 3 times 0 + 4 times 0 = 0 e proju1(v3) = ( 02 ) u1 = (0, 0, 0, 0) . Primeiro, calculamos a projeção de proju2(v3) = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 em v3 cdot u2 = 0 times ( -12 ) + 0 times 12 + 3 times 2 + 4 times 0 = 6 :
u2 cdot u2 = ( -12 )^2 + ( 12 )^2 + 2^2 + 0^2 = 14 + 14 + 4 = 92
Calculando:
proju2(v3) = ( 692 ) u2 = ( 129 ) u2 = ( 43 ) ( -12, 12, 2, 0 ) = ( -23, 23, 83, 0 )
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = ( 0, 0, 3, 4 ) - ( 0, 0, 0, 0 ) - ( -23, 23, 83, 0 ) = ( 23, -23, 13, 4 )
Agora, calculamos a projeção de em :
Calculando os produtos internos:
Então:
Agora, subtraímos essas projeções de para obter :

Resposta

A base ortogonal de , u1 = (1, 1, 0, 0,), u2 = (-12, 12, 2, 0,), u3 = (23, -23, 13, 4,) , é:

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