Vamos resumir o exercício: Temos um subespaço do espaço vetorial definido pelas equações e . Precisamos:
a) Determinar uma base ortogonal para .
b) Encontrar uma base para (o complementar ortogonal de ).
c) Dado o vetor , encontrar vetores e tais que .
Para resolver, usaremos conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, bases, ortogonalidade e projeções.
Passo 2
Vamos começar encontrando uma base para . As equações que definem são:
Queremos expressar algumas variáveis em função das outras para encontrar vetores que geram .
Passo 3
Resolvendo o sistema para expressar e em função de e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 4
Com isso, todas as variáveis e estão expressas em termos de e . Podemos parametrizar usando e como parâmetros livres:
Isso pode ser escrito como combinação linear de e :
Portanto, os vetores e formam uma base para .
Passo 5
Agora, precisamos tornar essa base ortogonal. Para isso, usamos o processo de Gram-Schmidt. Vamos chamar os vetores da base de e .
Primeiro, definimos .
Passo 6
Em seguida, projetamos sobre para encontrar :
Calculando os produtos internos:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Agora temos uma base ortogonal para :
Essa base atende ao critério de ortogonalidade, pois o produto interno entre e é zero.
Passo 8
Passando para a parte (b), precisamos encontrar uma base para . Sabemos que:
Como , então .
Para encontrar , observamos que os vetores que definem são perpendiculares aos vetores de . Assim, os coeficientes das equações que definem formam os vetores normais para .