Seja W=(x, y, z, w) in R^4 ; 2 x-y-z=0, x-2 y+w=0
(a) Determine uma base ortogonal de W.
(b) Encontre uma base para W^perp.
© Considere u=(1,0,1,1). Encontre vetores y in W e z in W^perp tais que u=y+z. Justifique.

Passo 1

Vamos resumir o exercício: Temos um subespaço do espaço vetorial definido pelas equações e . Precisamos:
a) Determinar uma base ortogonal para .
b) Encontrar uma base para (o complementar ortogonal de ).
c) Dado o vetor , encontrar vetores e tais que .
Para resolver, usaremos conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, bases, ortogonalidade e projeções.

Passo 2

Vamos começar encontrando uma base para 2x - y - z = 0 x - 2y + w = 0 . As equações que definem são:
Queremos expressar algumas variáveis em função das outras para encontrar vetores que geram .

Passo 3

Resolvendo o sistema para expressar 2x = y + z implies x = y + z2 e y + z2 - 2y + w = 0 implies -32y + z2 + w = 0 implies w = 32y - z2 em função de e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 4

Com isso, todas as variáveis v = ( y + z2, y, z, 32y - z2 ) e v = y ( 12, 1, 0, 32 ) + z ( 12, 0, 1, -12 ) estão expressas em termos de e . Podemos parametrizar usando e como parâmetros livres:
Isso pode ser escrito como combinação linear de e :
Portanto, os vetores e formam uma base para .

Passo 5

Agora, precisamos tornar essa base ortogonal. Para isso, usamos o processo de Gram-Schmidt. Vamos chamar os vetores da base de e .
Primeiro, definimos .

Passo 6

Em seguida, projetamos u2 = v2 - proju1 v2 = v2 - lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 sobre lang<= v2, u1 rang<= = 12 cdot 12 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + ( -12 ) cdot 32 = 14 - 34 = -12 para encontrar lang<= u1, u1 rang<= = ( 12 )^2 + 1^2 + 0^2 + ( 32 )^2 = 14 + 1 + 94 = 144 = 72 :
u2 = v2 - ( -12 div 72 ) u1 = v2 + 17 u1 = ( 12, 0, 1, -12 ) + 17 ( 12, 1, 0, 32 )
Calculando os produtos internos:
u2 = ( 47, 17, 1, -27 )
Então:
Simplificando:

Passo 7

Agora temos uma base ortogonal para ( 12, 1, 0, 32 ), ( 47, 17, 1, -27 ) :
Essa base atende ao critério de ortogonalidade, pois o produto interno entre e é zero.

Passo 8

Passando para a parte (b), precisamos encontrar uma base para dim(W) + dim(W^perp) = dim(R^4) = 4 . Sabemos que:
Como , então .
Para encontrar , observamos que os vetores que definem são perpendiculares aos vetores de . Assim, os coeficientes das equações que definem formam os vetores normais para .

Passo 9

As equações de 2x - y - z = 0 x - 2y + w = 0 são:
(2, -1, -1, 0), (1, -2, 0, 1)
Os vetores normais a essas equações são e .
Portanto, uma base para é:

Passo 10

Finalmente, na parte ©, queremos decompor y = ( lang<= u, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= ) u1 + ( lang<= u, u2 rang<=lang<= u2, u2 rang<= ) u2 em lang<= u, u1 rang<= = 1 cdot 12 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 32 = 12 + 0 + 0 + 32 = 2 e lang<= u1, u1 rang<= = 72 tal que lang<= u, u2 rang<= = 1 cdot 47 + 0 cdot 17 + 1 cdot 1 + 1 cdot ( -27 ) = 47 + 0 + 1 - 27 = 4 - 27 + 1 = 27 + 1 = 97 .
Para isso, usamos a projeção de lang<= u2, u2 rang<= = ( 47 )^2 + ( 17 )^2 + 1^2 + ( -27 )^2 = 1649 + 149 + 1 + 449 = 2149 + 1 = 2149 + 4949 = 7049 = 107 em y = ( 272 ) u1 + ( 97107 ) u2 = ( 47 ) u1 + ( 910 ) u2 e em y = 47 ( 12, 1, 0, 32 ) + 910 ( 47, 17, 1, -27 ) = ( 27, 47, 0, 67 ) + ( 3670, 970, 910, -1870 ) .
Primeiro, encontraremos y = ( 27 + 3670, 47 + 970, 0 + 910, 67 - 1870 ) = ( 20 + 3670, 40 + 970, 910, 60 - 1870 ) = ( 5670, 4970, 910, 4270 ) como a projeção de y = ( 45, 710, 910, 35 ) em . Usando a base ortogonal de :
Calculando os produtos internos:
Então:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Simplificando as frações:

Passo 11

Agora, encontramos z = u - y = (1, 0, 1, 1) - ( 45, 710, 910, 35 ) = ( 15, -710, 110, 25 ) como:

Passo 12

Verificamos que 2a + b = 15 - a - 2b = -710 - a + 0b = 110 0a + b = 25 confirmando que está na base de 2( -110 ) + b = 15 implies -210 + b = 210 implies b = 410 = 25 :
Como z = -110 (2, -1, -1, 0) + 25 (1, -2, 0, 1) = ( 15, -710, 110, 25 ) é gerado por e , podemos expressar como combinação linear desses vetores.
Resolvendo o sistema linear:
Da terceira equação: .
Substituindo na primeira equação:
Portanto:
Isso confirma que .

Resposta

a) Uma base ortogonal de ( 12, 1, 0, 32 ), ( 47, 17, 1, -27 ) é:
(2, -1, -1, 0), (1, -2, 0, 1)
b) Uma base para y = ( 45, 710, 910, 35 ) in W é:
z = ( 15, -710, 110, 25 ) in W^perp
c) O vetor pode ser decomposto em:
tal que .

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