Mostre que:
não é subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto
não é um subespaço de
. Isso está ligado ao estudo de Espaços Vetoriais e Subespaços. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e testar se
atende a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado na adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechado na multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor por um escalar também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero?
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
- Para
, temos . - Mas
exige que .
Então,
não está em
. Isso já viola a primeira condição para ser um subespaço.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos descoberto que
não contém o vetor zero, vamos dar uma olhada nas outras condições para deixar claro.
2. Fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Por exemplo,
e
.
- A soma deles é
. - Aqui,
, então está em .
Parece que essa condição é satisfeita, mas não precisamos nos aprofundar porque já faltou o vetor zero.
3. Fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em
, por exemplo,
, e um escalar negativo, digamos
.
- Multiplicando, temos
. - Aqui,
, que não é maior que 0, então não está em .
Então, essa condição também não é satisfeita.
Resposta
Como o conjunto
não contém o vetor zero e não é fechado na multiplicação por escalar, concluímos que
não é um subespaço de
.