Mostre que: S=(x, y) / x>0 não é subespaço de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto não é um subespaço de . Isso está ligado ao estudo de Espaços Vetoriais e Subespaços. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e testar se atende a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um subespaço. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado na adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor por um escalar também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero?
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
  • Para , temos .
  • Mas exige que .
Então, não está em . Isso já viola a primeira condição para ser um subespaço.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos descoberto que não contém o vetor zero, vamos dar uma olhada nas outras condições para deixar claro.
2. Fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Por exemplo, e .
  • A soma deles é .
  • Aqui, , então está em .
Parece que essa condição é satisfeita, mas não precisamos nos aprofundar porque já faltou o vetor zero.
3. Fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em , por exemplo, , e um escalar negativo, digamos .
  • Multiplicando, temos .
  • Aqui, , que não é maior que 0, então não está em .
Então, essa condição também não é satisfeita.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero e não é fechado na multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço de .

Exercícios relacionados