Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) :
S=[cc a & a+b a-b & b ] ; a, b in R

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto de matrizes 2x2 é um subespaço de . Basicamente, isso significa que a gente precisa ver se satisfaz três condições: contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como definição de subespaço e operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se 0 = 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero em a & a + b a - b & b = 0 & 0 0 & 0 é:
a = 0, a + b = 0, a - b = 0, b = 0
Para que a matriz zero esteja em , deve existir e tais que:
Isso implica que:
Resolvendo, vemos que e . Portanto, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se A = a & a + b a - b & b , B = c & c + d c - d & d é fechado sob adição. Se pegarmos duas matrizes quaisquer em A + B = a + c & (a + b) + (c + d) (a - b) + (c - d) & b + d = a + c & (a + c) + (b + d) (a + c) - (b + d) & b + d :
A + B = e & e + f e - f & f
A soma será:
Note que podemos chamar de e de , então:
Como e são números reais, a soma também pertence a . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se A = a & a + b a - b & b é fechado sob multiplicação por escalar. Seja kA = ka & k(a + b) k(a - b) & kb = ka & ka + kb ka - kb & kb um número real e kA = e & e + f e - f & f :
Multiplicando por :
Se chamarmos de e de , então:
Como e são reais, também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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