Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se o conjunto
de matrizes 2x2 é um subespaço de
. Basicamente, isso significa que a gente precisa ver se
satisfaz três condições: contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como definição de subespaço e operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
contém a matriz zero. A matriz zero em
é:
Para que a matriz zero esteja em
, deve existir
e
tais que:
Isso implica que:
Resolvendo, vemos que
e
. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Se pegarmos duas matrizes quaisquer em
:
A soma
será:
Note que podemos chamar
de
e
de
, então:
Como
e
são números reais, a soma
também pertence a
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
um número real e
:
Multiplicando por
:
Se chamarmos
de
e
de
, então:
Como
e
são reais,
também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.