Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) :
S=[ll a & 1 a & b ] ; a, b in R
© Luana Goulart
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto de matrizes é um subespaço do espaço das matrizes . Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar checar três coisas principais: se contém a matriz zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subespaço deve:
  1. Conter a matriz zero: A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero.
  2. Ser fechado sob adição: Se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real, o resultado deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se 0 = 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero:
A matriz zero em S = a & 1 a & b ; a, b in R é:
a = 0, 1 = 0, b = 0
No conjunto , as matrizes têm a forma:
Para que a matriz zero pertença a , precisaríamos que:
Mas olha só, não faz sentido! Isso é impossível. Portanto, a matriz zero não está em .

Passo 4

2. Verificar se a & 1 a & b e c & 1 c & d é fechado sob adição:
Mesmo que já tenhamos visto que a + c & 2 a + c & b + d não contém a matriz zero, vamos continuar para entender melhor.
Pegue duas matrizes de :
A soma delas será:
Para que a soma esteja em , a posição (1,2) deveria ser , mas aqui ficou . Então, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se k cdot a & 1 a & b = k a & k k a & k b é fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos ver a multiplicação por um número real qualquer .
Multiplicando uma matriz de por :
Para que essa matriz esteja em , a posição (1,2) deveria ser , independente de . Mas isso só acontece se . Para qualquer outro valor de , não está. Então, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Já que o conjunto não contém a matriz zero, não é fechado sob adição e não é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que não é um subespaço de .

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