Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
© Luana Goulart
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto
de matrizes
é um subespaço do espaço
das matrizes
. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar checar três coisas principais: se
contém a matriz zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subespaço deve:
- Conter a matriz zero: A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero.
- Ser fechado sob adição: Se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real, o resultado deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém a matriz zero:
A matriz zero em
é:
No conjunto
, as matrizes têm a forma:
Para que a matriz zero pertença a
, precisaríamos que:
Mas olha só,
não faz sentido! Isso é impossível. Portanto, a matriz zero não está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Mesmo que já tenhamos visto que
não contém a matriz zero, vamos continuar para entender melhor.
Pegue duas matrizes de
:
A soma delas será:
Para que a soma esteja em
, a posição (1,2) deveria ser
, mas aqui ficou
. Então,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos ver a multiplicação por um número real qualquer
.
Multiplicando uma matriz de
por
:
Para que essa matriz esteja em
, a posição (1,2) deveria ser
, independente de
. Mas isso só acontece se
. Para qualquer outro valor de
, não está. Então,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Já que o conjunto
não contém a matriz zero, não é fechado sob adição e não é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
não é um subespaço de
.